Suma z symbolem Newtona Kvothe: Wykaż, że dla dowolnej liczby n naturalnej:

n 0		n 3		n 6
	+		+		+......=13(2n+2cos(nπ3))

jc:

n 0		n 3		n 6
	+		+		+ ...

= [(1+1)ⁿ + (1+cos 2π/3 + i sin 2π/3)ⁿ+ (1+cos 2π/3 − i sin 2π/3)ⁿ ]/3 = [2ⁿ + (cos π/3 + i sin π/3)ⁿ + (cos π/3 − i sin π/3)ⁿ]/3 = [2ⁿ + (cos nπ/3 + i sin nπ/3) + (cos nπ/3 − i sin nπ/3)]/3 =[2ⁿ + 2 cos nπ/3]/3

Kvothe: A mógłbyś/mogłabyś jeszcze wyjaśnić skąd się bierze to pierwsze przejście ? Dlaczego tam się nagle pojawiły pierwiastki trzeciego stopnia z 1 ?

jc: z₀, z₁, z₂ = 3 różne pierwiastki z 1.

	n k
(1+z0)n + (1+z1)n + (1+z2)n = ... +		(z0k + z1k + z2k)+ ...

Jeśli 3|k, to suma w nawiasie wynosi 3, w przeciwnym wypadku zero.

Kvothe: OK, teraz już wszystko rozumiem. Dzięki wielkie !

Kvothe:

	n 1		n 4		n 7
A jak w ten sam sposób przedstawić sumę		+		+		+... ?

jc: Drugi składnik pomnóż przez z₁²=z₁, a trzeci przez z₂²=z₁.

Kvothe: To znaczy ?

jc: [z₀²(1+z₀)ⁿ + z₁²(1+z₁)ⁿ + z₂² (1+z₂)ⁿ]/3 z_k = cos 2kπ/3 + i sin 2kπ/n