ciągłość funkcji wielu zmiennych Aga: niech f,g :Rⁿ−−>R^m będa funkcjami ciągłymi (Funkcje wielu zmiennych) Udowodnić, że f*g, f/g są ciągłe w swoich dziedzinach. Proszę o naszkicowanie dowodu

jc: Czy po prawej stronie nie powinno być R? Co by inaczej znaczyło f/g?

Aga: tak pomyłka, ale sens jesg wiadomy raczej, potrzebny dowód

jc: Dokładnie tak samo, jak w przypadku R → R. | f(x)g(x) − f(t)g(t) | ≤ |f(x)−f(t)| |g(x)| + |f(t)| |g(x)−g(t)| ...

jc: Albo skorzystaj z definicji Heinego. Jeśli x_n →x, to f(x_n)→f(x) oraz g(x_n) →g(x), a więc f(x_n)g(x_n) →f(x)g(x), co oznacza, że fg jest ciągła w x, a ponieważ x jest dowolne, więc fg jest ciągła. W przypadku ilorazu trzeba uważać na dzielenie przez zero.