Zbieżność ciągu, granica Harry: Wykazać, że (x_n) jest ciągiem zbieżnym i obliczyć jego granicę, jeśli: x₁>0, x_n+1=¹₂(x_n+1/x_n) dla n≥1

Adamm: x₁=1 mamy ciąg stały, granica = 1 dla x₁≠1 x₂=(1/2)(x₁+1/x₁)>1 x_n>1 to x_n+1=(1/2)(x_n+1/x_n)>1 x_n+1−x_n=(1/2)(1−x_n²)/x_n<0 dla n≥2 ciąg jest od pewnego miejsca monotoniczny, a dokładnie malejący, więc ograniczony z góry, ograniczony z dołu przez 1, zatem zbieżny granica musi spełniać g=(1/2)(g+1/g) oraz g≥1 czyli g=1 w każdym razie, granica istnieje i wynosi 1

Harry: Już teraz dziękuję bardzo! Mam jeszcze pytanie, skąd np. wiemy, że x_n+1=...>1? Czy należy to jakoś pokazać?

Adamm: np. analitycznie badasz funkcję f(x)=x+1/x wtedy będziesz wiedział że ma jedno minimum (globalne), przyjmuje je dla x=1, i wynosi 2

Adamm: oczywiście, x>0

Harry: Rozumiem. Bardzo dziękuję!