ekstrema jan: oblicz ekstrema fuknkcji f(x)= x⁵+x² − 2 f'(x) = 5x⁴ + 2x = x( 5x³ +2 ) f'(x) =0 x( 5x³ +2 ) = x = 0 u x= − ³√²₅ Dobrze to robie bo cos dziwnie wychodzi :x

kochanus_niepospolitus: dobrze

jan: dziękuję. A mam jeszcze pytanie. Jak mam narysować np taką funkcję (3x⁴ −3)/x²

kochanus_niepospolitus: zbadaj przebieg zmienności funkcji to będziesz wiedział zauważ, że funkcja jest parzysta (połowa roboty z głowy )

kochanus_niepospolitus: wskazówka −−− policz także drugą pochodną bo coś wyczuwam punkt przegięcia

jan: Nie moge zrobić tego przykladu... mam wyznaczyc przedzialy monto i ekstremy . f(x) = 4/(x²−2x) 1. Sprawdzam dziedzine. x∊R −{0,2} 2. Licze pochodna funkcji. f'(x) = −(8x+8)/ (x² − 2x) ² 3. Co dalej z tym robić?

kochanus_niepospolitus: zauważ, że mianownik pochodnej jest postaci ('coś')² ... czyli jest to liczba większa od 0 (bo to 'coś' nie zeruje się − patrz dziedzina funkcji) więc o znaku pochodnej mówi nam wartość LICZNIKA stąd: −(8x+8) = 0 −> x = f'(x) > 0 ⇔ −(8x+8) > 0 f'(x) < 0 ⇔ −(8x+8) < 0

jan: Okay rozumiem, a jak ekstremy policzyć? Odczytywałem zazwyczaj z wykresy ale w tym wypadku nie wiem jak

kochanus_niepospolitus: i jak już to pochodna to

	−(8x−8)
f'(x) =
	(x2−2x)2

jan: Aj, faktycznie.. moj blad

kochanus_niepospolitus: ekstremum funkcji jest jedynie wtedy gdy f'(x) = 0 (jest to warunek KONIECZNY, ale nie wystarczający )

kochanus_niepospolitus: ja uciekam ... niech ktoś inny 'przejmie'

jan: Czyli do ekstremum mam warunek, że f'(x) = 0 i jest to warunek konieczny ale nie wystarczajacy. Jak to rozumiec, co z tym robic dalej

jan: Chyba nikt nie "przejmie"

jan: narysowałem sobie wykres y = −8x+8 i z niego odczytałem ekstrema f max(1) = −4 oraz przedzialy monotonicznosci z uwzglednieniem dziedziny f(x) rosnie (−∞;0); (0;1> f(x) maleje <1;2) ; (2; +∞) Można tak?

Jerzy: Pomyśl...kiedy pochodna się zeruje ?

Blee: Przedzialy monotonicznosci ZAWSZE zapisujesz w przedzialach otwartych. Pozatym jest dobrze.

Jerzy: Co jest dobrze, jak funkcja ma tylko jedno ekstremum ?

Blee: Co docwarunku koniecznego ale.nie wystarczajacego. Jezeli f'(x₀)=0 to w tym punkcie mam ekstremum lokalne LUB punkt przegiecia. Aby miec pewnosc ktore z tych mamy winno sie policzyc pochodne wyzszych rzedow. Jezeli ostatnia pochodna dla ktorej w punkcie x₀ ta pochodna przyjmuje wartosc 0 jest pochodna nieparzystego stopnia, to mamy tam ekstremum. Jezeli jest to parzysty stopien pochodnej to mamy punkt przegiecia. Ale mozna sobie latwiej poradzic wlasnie poprzez robienie szkicu wykresu pochodnej (badz tylko jego licznika −−− o ile mianownik ma staly znak). Nieparzyste krotnosci miejsca zerowego pierwszej pochodnej to ekstrema ... parzyste to punkty przegiecia. Np. g'(x) = x(x−1)²(x−2)³(x−3)⁸(x−4)⁹ Bedzie posiadal ekstrema w 0, 2 i 4 oraz punkty przegiecia w 1 i 3. UWAGA Punktow przegiecia moze byc wiecej niz te dwa.

Blee: No i napisal ze ma jedno ekstremum. Pumkty 0 i 2 nie sa w dziedzinie (asymptoty pionowe) A sama funkcja jest symetryczna wzgledem prostej x=1

Jerzy: OK...ja źle popatrzyłem.