Wyznacz rozwiązania następujących równań Agniecha: Hej! Mam wyznaczyć rozwiązania następujących równań w zbiorze liczb zespolonych. Czy ktoś byłby chętny rozpisać mi je krok po kroku bo jestem straszna noga z algebry 𝑎) 𝑧2 − 𝑧 + 3 = 0, b) 𝑖𝑧2 − 𝑧 + 2𝑖 = 0, c) 𝑧4 + (1 − 𝑖) 𝑧2 − 𝑖 = 0, d) 𝑧2 = 5 + 8𝑖, e) z2+(2+i)z−1+7i=0

Janek191: a) z² − z + 3 = 0 Δ = 1 − 4*1*3 = −11 = 11 i² √Δ = √11 i

	1 − √11 i
z1 =
	2

	1 + √11 i
z2 =
	2

Janek191: b) i z² − z + 2 i = 0 Δ = 1 − 4*i*2i = 1 + 8 = 9 √Δ = 3

	1 − 3		− 2		−1		i		− i
z1 =		=		=		*		=		= i
	2 i		2i		i		i		−1

	1 + 3		2		i		2 i
z2 =		=		*		=		= − 2 i
	2 i		i		i		−1

Janek191: c) z⁴ + (1 − i ) z² − i = 0 z² = t t² + (1 − i ) t − i = 0 Δ = (1 − i)² − 4*1*( − i) = 1 − 2 i + i² + 4 i = 1 +2 i − 1 = 2 i = (1 + i)² √Δ = 1 + i więc

	i − 1 − 1 − i		i − 1 + 1 + i
t =		= − 1 lub t =		= i
	2		2

czyli mamy z₂ = − 1 = i² lub z² = i 1) z² = i² z = − i lub z = i

	π		π
2) z2 = i = 0 + i = cos		+ i sin
	2		2

Teraz korzystamy z wzoru na pierwiastek n − tego stopnia z liczby zespolonej

	α + 2k π		α + 2k π
zk = n√I z I*(cos		+ i sin		) gdzie k = 0,1,2, ..., n −1
	n		n

zatem

	0,5π		0,5π		π		π
z0 = 1*( cos		+ i sin		) = cos		+ i sin		=
	2		2		4		4

	√2		√2
=		+		i
	2		2

	0,5π + 2π		0,5π + 2π		π		π
z1 = 1*(cos		+ i sin		) = cos(		+π) + i sin (		+π) =
	2		2		4		4

	π		π		√2		√2
= − cos		+ i ( − sin		) = −		−		i
	4		4		2		2

	√2		√2
Odp. z = − i lub z = i lub z =		+		i
	2		2

	√2		√2
lub z = −		−		i
	2		2

Jack: d) z² = 5 + 8i z = √5+8i lub z = − √5+8i mozna to jeszcze rozpisac, ale nie jest to trywialne.

Agniecha: Dziękuje bardzo <3

Janek191:

Mila: (x+iy)²=5+8i, x,y∊R x²−y²+2xyi=5+8i x²−y²=5

	4
2xy=8⇔xy=4, y=
	x

	16
x2−		=5
	x2

x⁴−5x²−16=0 Δ25+64=√89

	5−√89		5+√89
x2=		<0, lub x2=
	2		2

	√5+√89		√5+√89
x=		lub x=−
	√2		√2

licz y , a potem z₁ i z₂ jak widzisz niezbyt przyjazne wyniki