yht:
Zacznij "wykład" od nieformalnego wzoru:
| | zmiana wartości y | |
pochodna = |
| |
| | przyrost argumentu x | |
potem powiedz że pokażesz znaczenie tego wzoru w praktyce:
Narysuj f(x)=3x
policz kolejno:
f(3) = 9
f(4) = 12
potem powiedz coś w stylu: zauważamy że gdy argument x wzrasta z 3 na 4 (czyli wzrasta o 1), to
wartość y rośnie (z 9 na 12) czyli rośnie o 3.
zatem
przyrost argumentu = 1
zmiana wartości = 3
wówczas, zgodnie ze "wzorem" na pochodną:
| | zmiana wartości y | | 3 | |
pochodna = |
| = |
| = 3 |
| | przyrost argumentu x | | 1 | |
potem policz
f(7,41) = 3*7,41 = 22,23
f(7,42) = 3*7,42 = 22,26
przyrost argumentu, z 7,41 do 7,42, wynosi tutaj 0,01
zaś przyrost wartości z 22,23 do 22,26, to 0,03
wtedy
| | zmiana wartości y | | 0,03 | |
pochodna = |
| = |
| = 3 |
| | przyrost argumentu x | | 0,01 | |
f'(x) =
3
czyli pochodna f'(x) informuje o
szybkości zmiany wartości y, pod wpływem zwiększenia się
argumentu x
potem narysuj g(x)=−2x
wybierasz dwa dowolne x−sy, np. x=6 i x=7 i obliczasz wartości:
g(6) = −12
g(7) = −14
czyli przyrost argumentu = 1
zmiana wartości = −2
| | zmiana wartości y | | −2 | |
pochodna = |
| = |
| = −2 |
| | przyrost argumentu x | | 1 | |
weź inną parę x−sów:
g(4,5) = −9
g(4,6) = −9,2
przyrost arg = 0,1
zmiana wartości = −0,2
| | zmiana wartości y | | −0,2 | |
pochodna = |
| = |
| = −2 |
| | przyrost argumentu x | | 0,1 | |
i powiedz że wraz ze wzrostem argumentu x o 1, wartość y
maleje o
2
g'(x) =
−2
więc to też ma potwierdzenie w obliczeniu pochodnej g'(x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Wnioski: jeśli f'(x) jest dodatnia, to f(x) rośnie
f'(x) ujemna, to wtedy f(x) maleje
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
potem narysuj funkcję
stałą
h(x) = −6
wybierz sobie dowolne x−sy np. x=4,7 i x=4,75
h(4,7) = −6
h(4,75) = −6
przyrost argumentu = 0,05
wartość funkcji się nie zmieniła, było −6 i jest −6
zatem zmiana wartości = 0
| | zmiana wartości y | | 0 | |
pochodna = |
| = |
| = 0 |
| | przyrost argumentu x | | −6 | |
licząc pochodną h'(x) = 6' =
0
dlatego pochodna funkcji stałej jest równa zawsze 0.
Bo wybierając dla funkcji stałej dowolne dwa iksy, wartość i tak się nie zmieni. Więc pochodna
równa 0.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
potem narysuj f(x) = −x
2 + 8x
miejsca zerowe x
1=0, x
2=8
policz wierzchołek tej funkcji ze wzorów na p i q
wyjdzie Ci p=4, q=f(p)=f(4)=−16+32 = 16
Czyli W=(4,16)
powiedz że ta funkcja jest rosnąca dla x∊(−
∞,4) i malejąca dla x∊(4,+
∞)
Sprawdzimy (za pomocą pochodnej)
jak szybko f(x) rośnie w okolicach x=2
wybierzmy dwa iksy dla których f(x) jest rosnąca np. x=2, i x=3, policzmy wartości
f(2) = −2
2+8*2 = −4+16=12
f(3) = −3
2+8*3 = −9+24 = 15
przyrost arg o 1
przyrost wartości o 3
tymczasem pochodna f(x) ze wzoru:
f'(x) = (−x
2+8x)' = −2x+8
zbadajmy jak szybko rośnie f(x) dla x=2. W tym celu policzmy f'(2)
f'(2) = −2*2+8 =
4
widoczna jest rozbieżność (niedokładność) między
oraz
f'(2) = −2*2+8 =
4
bo raz wyszło
3 a raz
4
powiedz że wynik
4 jest bardziej wiarygodny
wzór f'(2) jest doskonalszy niż wzór
można nieco udoskonalić "chłopski" wzór
przyjmując jak najmniejszy przyrost argumentu
weźmy x=2 oraz x=2,001
f(2) = −2
2+8*2 = −4+16 = 12
f(2,001) = −2,001
2+8*2,001 = −4,004001+16,008 = 12,003999
przyrost arg = 0,001 (bardzo mały, im mniejszy tym lepiej)
przyrost wartości = 0,003999
wobec tego
| | 0,003999 | |
pochodna = |
| = 3,999 |
| | 0,001 | |
jednak dokładnego wyniku (czyli
4) nie osiągneliśmy
zakończ tym, że wzory na pochodne
f'(x) i później obliczenie
f'(2) gwarantują
dokładne informacje o zmianie wartości funkcji
f(x) w (nieskończenie) bliskiej okolicy (w
otoczeniu) punktu x=2
wzór
| | zmiana wartości y | |
pochodna = |
| |
| | zmiana argumentu x | |
jest tym lepszy (dokładniejszy) im mniejsza jest zmiana argumentu x
jednak dokładności wzoru f'(x) on nigdy nie osiągnie
bo f'(x) uwzględnia
nieskończenie małą zmianę argumentu x.
