Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Rafał: Rozwiąż nierówności:

	3
a) |2x − 2−x| ≤
	2

	1		1
b)		<
	ex − 1		e2x + 1

	2
c)		≥ 1 − log3x
	log1/3x

	1
d) ln x +		> 0
	ln x

	3
e) |log2/3 (2 −		)| > 1
	x + 2

=========================================

	3
Ad (a) |2x − 2−x| ≤
	2

1) Założenia: 2^x − 2^−x ≥ 0 ; t = 2^x 2^x ≥ 2^−x x ≥ 0 t − 1/t ≤ 3/2 2t² − 3t − 2 ≤ 0 2(t − 2)(t + 1/2) ≤ 0 t + 1/2 ≥ 0 dla t ∊ R t − 2 ≤ 0 dla t ≤ 2 <=> 2^x ≤ 2¹ <=> x ≤ 1 Z założeń mamy dziedzinę ograniczoną z dołu, więc x ∊ <0; 1> 2) Założenia: 2^x − 2^−x < 0 ; t = 2^x 2^x < 2^−x x < 0 2(2^x − 2)(2^x − 1/2) > 0 x ≥ 1/2, czyli nie mieści się w dziedzinie. Odpowiedzią jest x ∊ <0; 1> z pierwszego założenia. W odpowiedziach podają x ∊ <−1; 1>

	1		1
Ad (b)		<
	ex − 1		e2x + 1

D = R − {0} e^2x + 1 < e^x − 1 ; t = e^x t ² + 1 − t + 1 < 0 t² − t + 2 < 0 Δ < 0 Co dalej?

grzest: Zauważ, że e^x−1 jest dodatnie dla x∊(0,∞), dla x∊(−∞,0) jest ujemne.

Jerzy: a) skąd pierwsze założenie ? , gdzie założenie o y ?

Rafał: Pierwsze założenie ze względu na wartość bezwzględną.

Jerzy: A niby dlaczego ?

Adamm: Jerzy, przecież rozpatruje przypadki

Jerzy: |a| ≤ A ⇔ −A ≤ a ≤A ... i jakie przypadki tu rozpatrywać ?

Jerzy: Masz zły wynik, bo zrobiłeś to, o czym bredził Adamm Zrezygnuj z niepotrzebnego do niczego pierwszego założenia,dołóż niezbędne założenie t > 0 i otrzymasz prawidłowe rozwiązanie: x ∊ <−1;1> ( sprawdziłem )

Jerzy: b) x ≠ 0 , t = e^x i t > 0

1		1		t2 − t + 2
	<		⇔		< 0 ⇔ (t2 − t + 2)(t−1)(t2+1) < 0
t −1		t2 +1		(t−1)(t2+1)

⇔ (t² − t +2)(t − 1) < 0 ⇔ t < 1 ⇔ e^x < 1 ⇔ x < 0

Jerzy: c) x ≠ 1 , log₃x = t ,log_1/3x = − t

	2
−		≥ 1 − t
	t

i działaj.

Jerzy: d) nawet nie podpowiadam

	3
e) x ≠ −2 , 2 −		> 0
	x+2

|a| > 1 ⇔ a > 1 lub a < −1

Maciek: Wielkie dzięki za pomoc. Mam jednak problem z c), d). c) t² − t − 2 ≥ 0 (t + 1)(t − 2) ≥ 0 t ∊ (−∞; 1/3< ∪ <9; +∞) W odpowiedziach widnieje jednak <1/3; 1) ∪ <9; +∞)

	1
d) ln x +		> 0 ; x ≠ 1 t = ln x
	ln x

t + 1/t > 0 t² + t > 0 t(t + 1) > 0 t > 0 ⇔ ln x > 0 ⇔ x ∊ R t > −1 ⇔ ln x > −1 ⇔ x ∊ R I w tym wypadku również odpowiedź jest niezgodna z kluczem.

Jerzy: ad c) spójrz na założenie.

Jerzy: ad d)

	1		t2 + 1
t +		> 0 ⇔		> 0 ⇔ (t2 + 1)*t > 0 ⇔ t > 0
	t		t

i pamietaj o założeniu.

Maciek: Założenie x ≠ 1 nic mi nie zmienia.

Jerzy: A poza tym: t > 0 ⇔ lnx > 0 ⇔ x > 1 ( a nie jak napisałeś x ∊ R)

Maciek: Faktycznie. Czyli zadanie rozwiązane. x ∊ (1; +∞). A co z c)?

Jerzy: Moje przeoczenie w c) x > 0

Jerzy: c) x > 0 i x ≠ 1

Jerzy: Czemu zmieniłeś nick ?

Jerzy: W c) z tego co widzę, pomnożyleś obustronnie przez t, a to niedpouszczalne.

	2		−2 −t + t2
−		− 1 + t ≥ 0 ⇔		⇔ (t2 − t − 1)*t ≥ 0
	t		t