punkty przecięcia mp: Ile punktów przecięcia mają wykresy funkcji: f(x) = 5^x g(x) = 1,6x+1 Jeden na pewno − (0,1), a gdzie jest drugi?

Janek191:

5-latek: Drugi ktoś zajumał

mp: Z wykresu nie wygląda, żeby były dwa... a są na pewno. Jak to pokazać?

the foxi: No jednak są: http://tiny.pl/gp2nx

kochanus_niepospolitus: h(x) = f(x) − g(x) = 5^x − 8x/5 − 1 h'(x) = 5^xln5 − 8/5

	8
h'(x) = 0 ⇔ 5x =		⇒ x < 0 ale x≈0
	5ln5

tak więc funkcja h(x) posiada jedno ekstremum ... skoro jednym z miejsc zerowych h(x) jest x=0 oraz lim_x−>−∞ h(x) = +∞ stąd wniosek: musi na pewno być jeszcze jeden x (i to x<0) dla którego h(x) = 0 Jako, że funkcja h(x) jest ciągła i posiada tylko jedno ekstremum, to mamy dokładnie dwa punkty dla których f(x) = g(x) (czyli h(x) = 0)

mp: O dzięki jeden dowód już jest A da się to wywnioskować tylko z tego, że pochodne obu funkcji w punkcie przecięcia nie są równe? f'(x) = x⁵ln5 f'(0) = ln5 ≠ 1,6

mp: * oczywiście chodziło o f'(x)=5^xlin5

piotr: rozwiązaniem jest granica następującego ciągu rekurencyjnego x₀ = −1

	5xn−1,6xn−1
xn+1 = xn −
	5xnln(5)−1,6

x ≈ −0,00731577457817074

piotr: A da się to wywnioskować tylko z tego, że pochodne obu funkcji w punkcie przecięcia nie są równe? Tak, bo jeśli byłyby równe to byłaby styczna, a więc jeden punt wspólny.

Adamm: ja mam taką sugestię, jeśli chodzi jedynie o wykazanie że ten pierwiastek istnieje wyznacz styczną do 5^x o nachyleniu 1,6, potem sprawdź czy jej współczynnik wolny jest <1 jeśli tak, to mamy dwa pierwiastki

mp: Piotr − niekoniecznie − styczna w jednym punkcie może się przecinać z funkcją gdzie indziej. Adamm − wydaje się ok, ale chyba wystarczy, że współczynnik wolny ≠1.

Adamm: faktycznie nie może być >1 bo wiemy że jeden punkt wspólny już jest w takim razie zadanie jest jeszcze łatwiejsze

piotr: ale funkcja 5^x jest ściśle monotoniczna w R, a więc styczna z jej wykresem nie może mieć innych punktów wspólnych

kochanus_niepospolitus: mp jak tak bardzo chcesz to można w taki sposób:

	8		8
h'(0) = 50ln5 −		= ln5 −		> 0
	5		5

skoro h(0) = 0 i h'(0) > 0 to funkcja h(x) jest rosnąca w otoczeniu punktu x₀ = 0 jako, że: lim_x−>+∞ h(x) = +∞ lim_x−>−∞ h(x) = +∞ funkcja h(x) jest funkcją ciągłą dla x∊R ∃_c≠0 h(c) = 0 Ale UWAGA To pokazuje tylko, że punktów przecięcia jest co najmniej dwa. Tylko ten sposób który podałem pokazuje, że jest to dokładnie dwa. Piotr −−− zgoda, ale pytanie brzmi o ilość przecięć. Wyliczenie kolejnego przecięcia nie jest równoznaczne z pokazaniem, że przecięć nie będzie więcej jak 2