Stopnie wielomianu
UczącySię: Stopień wielomianu W(x) jest równy 2015. Wiedząc, że W(n) = 1/n dla n = 1,2,...,2016, oblicz
W(2017). Kompletnie nie wiem jak zabrać się za to zadanie, nie wiem o co w nim nawet chodzi.
Proszę o pomoc
23 paź 20:07
23 paź 20:21
UczącySię: Tyle, że dalej nie wiem o co chodzi. Jak powiązać to W(x) z W(n)
23 paź 20:36
PW: Nic nie wiązać, ino podstawić x=2017.
23 paź 20:41
jc: Czy to nie jest zadanie z jakiegoś konkursu?
Ma rozwiązanie (raczej łatwe), ale wolałbym na razie nie ujawniać.
23 paź 21:58
kochanus_niepospolitus:
jc ... tak naprawdę rozwiązanie już zostało podane (no prawie)
23 paź 22:00
kochanus_niepospolitus:
Mac Donald 'prawie' prawidłową postać wielomianu podał.
23 paź 22:01
jc: Tylko to, co podał Mac D. nie jest wielomianem.
23 paź 22:09
kochanus_niepospolitus:
jc ... wolę nie pisać tutaj co trzeba zmienić, aby był to poprawny zapis i był to wielomian (25
stopnia).
23 paź 22:10
jc: Dużo nie trzeba zmieniać.
W(x) = [ 1− (−1)2016(x−1)(x−2)(x−3)...(x−2016) / 2016! ]/x
W(2017) = 0
23 paź 22:33
kochanus_niepospolitus:
jc ... i właśnie tego nie chciałem pokazywać
23 paź 22:35
UczącySię: Ale skąd wiecie, że W(x) wygląda właśnie tak ?
I skąd potem wiadomo, że W(2017) to 0. Mógłbym jakieś rozumowanie ?
24 paź 19:49
UczącySię: Chwila, że W(2017) = 0 to już wiem, ale skąd postać W(x) ?
24 paź 19:50
kochanus_niepospolitus:
z treści zadania to wynika
24 paź 20:34
jc: Uczący się, trochę nieładnie, bo to jednak zadanie z konkursu.
Wyjaśnienie. Wartości w n+1 punktach jednoznacznie określają wielomian
stopnia nie większego od n.
24 paź 20:50
Witam: Wiem, że nieładnie dlatego nie zamierzam tego dawać do rozwiązań. Żeby przejść dalej potrzeba
jakoś 70%, czyli można nie robić dwóch zadań
24 paź 21:01
Adamm: trzeba było to zadanie wstawić po terminie
w tym momencie nie masz prawa do takich dyskusji (nie masz się czym bronić)
24 paź 21:11
Witam: Racja, wiem.
24 paź 21:42
Witam: Tyle że i tak dalej nie wiem o co tu chodzi, no ale dobrze ...
24 paź 21:56
Adamm: zapytasz się o to jak skończy się termin wysyłania zadań
24 paź 21:59
Witam: Oczywiście. I przepraszam, jeżeli uznaliście to za jakiś rodzaj oszustwa
24 paź 22:01
Witam: A więc
Termin się skończył, jak to zrobić ?
29 paź 21:06
Witam:
29 paź 22:53
Adamm: xW(x)=k*(x−1)(x−2)...(x−2016)+1
dlaczego?
bo xW(x) jest wielomianem 2016 stopnia, i przyjmuje wartość 1 dla x=1, 2, .., 2016
dodatkowo, dla x=0 mamy
0=k*2016!+1
| | 1 | |
xW(x)=− |
| (x−1)...(x−2016)+1 |
| | 2016! | |
dla x=2017 mamy
2017W(2017)=0
skąd
W(2017)=0
30 paź 00:05
Adamm: fajnie że czekałeś do terminu
30 paź 00:06
Adamm: trochę ogólniej, wprowadźmy zmienną
stopień W(x) − n
dla k=1, 2, ..., n+1
W(k)=1/k
xW(x)=k*(x−1)(x−2)...(x−(n+1))+1
dla x=0
| | (−1)n | |
xW(x)= |
| (x−1)...(x−(n+1))+1 |
| | (n+1)! | |
(n+2)W(n+2)=(−1)
n+1
30 paź 00:26
Witam: Nie rozumiem ale okej
2 lis 17:40
kochanus_niepospolitus:
Witam ... a więc po kolei:
| | 1 | |
1) Tworzymy wyrażenie 'wielomianopodobne' W(x) taki, aby W(x) = |
| dla x = 1,2,...,2016 |
| | x | |
| | 1 | |
W(x) = a(x−1)(x−2)(x−3)...(x−2016) + |
| |
| | x | |
zgadza się? zgadza ... tyle że TO NIE JEST wielomian. Ponadto jakby wymnożyć trze wszystkie
nawiasy, to lewa część wzoru byłaby wielomianem 2016 stopnia (czyli x
2016 najwyższą
potęgą).
Ale jeżeli zapiszemy:
| | a(x−1)(x−2)(x−3)...(x−2016) | | 1 | |
W(x) = |
| + |
| |
| | x | | x | |
| | 1 | |
to już dostaniemy x2015 jako najwyższą potęgę ... no ale teraz 'bruździ' nam to |
| ... |
| | x | |
to przemnóżmy obie strony przez 'x':
No to musi zajść a*(−1)
2016*2016! +1 = 0 (wtedy nie będzie wyrazu wolnego ... więc licznik
będzie podzielny bez reszty przez 'x').
I ostatecznie mamy:
| | | | 1 | | − |
| (x−1)(x−2)...(x−2016) + 1 | | | 2016! | |
| |
W(x) = |
| |
| | x | |
2 lis 21:14