halp zasdasdasd: lim tg(2u)/u u−>0 lim h−>0 e^h−1 /h Help

Jerzy: 1) 1 2) 1

zasdasdasd: Nie potrzebuje wyników, tylko chcę wiedzieć dlaczego, obszernie z komentarzem

lim_{u: Stosujemy regułę de l'Hospitala:

	2/cos2u
1) = limu→0		= 2
	1

	eh
2) = limh→0		= e0 = 1
	1

Adamm: pierwsza

	tgx
limx→0		= 1 <− granica elementarna (Jerzy podał zły wynik)
	x

druga

	ex−1
limx→0		= 1 <− również granica elementarna
	x

zasdasdasd: Hmm, a co to za reguła ? Nie miałem czegoś takiego. Da się jakoś inaczej to zrobić?

Jerzy: Poczętek wpisu rafił w nick Tak, pomyliłem się w pierwszym .

Jerzy: Reguła H pozwala w niektórych przypadkach liczyć granicę ułamka, jako granicę ułamka pochodnych licznika i mianownika.

zasdasdasd: Dalej nie rozumiem w sumie xd Da się to jakoś zrobić z użyciem pochodnych ?

Jerzy: Właśnie tak zrobiłem 12:32

zasdasdasd: hmm, ale w takim razie dlaczego uzyles tej pochodnej ?

Adamm:

sinx
	→1 przy x→0
x

powinieneś był mieć taką granicę (dowód jest geometryczny, dowodzenie tego regułą de l'Hospitala jest niedopuszczalne (pochodna sinx korzysta z tej granicy)) druga sprawa

ex−1
	→1 przy x→0
x

tutaj przy pochodnej z e^x występuje ta granica, też nie powinno się jej liczyć za pomocą reguły de l'Hospitala ją najlepiej jest obliczyć przez podstawienie t=e^x−1 czyli mamy granicę

	t		1		1
limt→0		= limt→0		=		=1
	ln(t+1)		ln(t+1)1/t		lne

zasdasdasd: Tak miałem sinx/x ale co to ma do tego tg2u/u ?

Jerzy: Poczytaj to: https://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_de_l%E2%80%99Hospitala

Jerzy:

	sinu
Mozesz zamienić tg na		...
	cosu

	sin(2u)		1
= limu→02*		*		= 2 *1*1 = 2
	2u		cos(2u)

zasdasdasd: @Adamm Za bardzo nie rozumiem tego przejscia gdzie usuwasz t z licznika i wstawiasz jako 1/t i mianowniku

Jerzy: t = e^x − 1 ⇔ e^x = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1)

zasdasdasd: to wiem ale dlaczego potem to t znika z licznika i w mianowniku w potędze pojawia się 1/t

'Leszek: Ta jak podal @Adamm , jest podstawowy wzor w teorii granic :

	sin(kx)
lim		= 1 , dla x → 0 , k − stala
	kx

	tg (3x)		3tg(3x)		3 sin(3x)
Np. lim		= lim		= lim		= 3 , dla x→0
	x		3x		cos(3x)*3x

Jerzy: To skrót myślowy:

	1
limn→∞(1 +		)n = e
	n

lim_n→0(1 + n)^1/n = e

Jerzy: To co napisał 'Leszek pokazałaem Ci 12:46

zasdasdasd: Tak, dzięki.

jc: Adamie, sposób rachowania zależy od przyjętej definicji. Przyjmując e^x = 1+x+x²/2! + x³/3! + ... sin x = (e^ix − e^−ix)/(2i) liczymy inaczej. Twój rachunek jest dobry jako ćwiczenie. Wymaga jednak uzupełnienia (istnienie funkcji log, ciągłość funkcji log, granica (1+1/t)^t, przy sin x problem pomiaru kąta). Oczywiście można to to zrobić, ale taniej jest przyjąć definicje podane przeze mnie, co czyni wielu autorów (Rudin, Mikusiński).