Nie umiem rozwiązać tego równania :( proszę pilnie o pomoc ! Voyak: x⁴ + 5*x³ + 8*x² + 10x + 4 = 0

Voyak:

Adamm: w(x)=x⁴+5x³+8x²+10x+4 w(1), w(−1), w(2), w(−2), w(4), w(−4) są wszystkie różne od 0 możemy spróbować tak załóżmy że w(x) rozkłada się na iloczyn dwóch wielomianów stopnia 2 o współczynnikach całkowitych w(x)=(x²+ax+b)(x²+a'x+b') a'+a=5 b'+b+aa'=8 ab'+ba'=10 bb'=4 z ostatniego (b, b')∊{(1, 4), (−1, −4), (2, 2), (−2, −2)} i teraz niech np. (b, b')=(1, 4) a'+a=5 aa'=3 4a+a'=10 ⇒ 3a=5 sprzeczność niech (b, b')=(−1, −4) to mamy a'+a=5 aa'=13 4a+a'=−10 ⇒ 3a=−15 ⇒ a=−5 ale aa'=13 więc mamy sprzeczność niech (b, b')=(2, 2) a'+a=5 aa'=4 widać że dla a=1, a'=4 mamy rozwiązanie (to tak żeby już się nie męczyć) czyli w(x)=(x²+x+2)(x²+4x+2) czyli mamy x²+x+2=0 lub x²+4x+2=0 oba równania można bardzo łatwo rozwiązać

Voyak: Dziękuję Bardzo ! Czyli nie ma innej metody niż na (jak to moja pani od matmy mówi) "zgadywanie" ?

Adamm: dla wielomianów 4 stopnia jest jedna metoda polega ona na wprowadzeniu nowej zmiennej, tak żeby dostać różnicę kwadratów to prowadzi do równania 3 stopnia które trzeba rozwiązać spróbuj, może wyjdzie ładny wynik

Voyak: a rozwiązując takie równanie ? x² + 4/x² + 5x + 10/ = −8 (po przekształceniu wyjdzie to samo co x4 + 5*x3 + 8*x2 + 10x + 4 = 0)

Adamm: a, to proste podstaw t=x+2/x

Voyak: *** x2 + 4/x2 + 5x + 10/x = −8 po 10 x zgubiłem

Voyak: ale faktycznie wychodzi, dziękuję bardzo

Voyak: chociaż z tego wychodzi t² + 8 + 5t = −8 t² + 5t + 16 = 0 czyli Δ < 0

Voyak: dobra jednak Δ=9, nie umiem liczyć

Adamm: wychodzi t²+5t+4=0

Mariusz: x⁴ + 5*x³ + 8*x² + 10x + 4 = 0 Sposób który Adam pokazał jest dość ogólny jednak czasami sprowadzenie najpierw do różnicy kwadratów może wymagać mniej obliczeń x⁴ + 5x³ + 8x² + 10x + 4 = 0 Grupujemy wielomian (x⁴ + 5x³) − ( −8x² − 10x − 4) = 0 Dopełniamy wielomian w prawym nawiasie do kwadratu zupełnego korzystając z wzorów skróconego mnożenia

	5		25		7
(x4 + 2		x3+		x2) − ( −		x2 − 10x − 4) = 0
	2		4		4

	5		7
(x2 +		x)2 − ( −		x2 − 10x − 4) = 0
	2		4

Wielomian w lewym nawiasie jest trójmianem kwadratowym więc będzie kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero Gdybyśmy od razu liczyli wyróżnik to mogłoby się okazać że nie jest on równy zero więc wprowadzamy do równania parametr od którego będziemy mogli uzależnić wyróżnik trójmianu kwaratowego Parametr wprowadzamy tak aby prawa strona nadal była kwadratem zupełnym (znowu korzystamy z wzorów skróconego mnożenia)

	5		y		7		5		y2
(x2 +		x+		)2 − ((y−		)x2 + (		y− 10)x+		− 4) = 0
	2		2		4		2		4

Δ=0

	y2		7		5
4(		− 4)(y−		)−(		y− 10)2=0
	4		4		2

	7		5
(y2−16)(y−		)−(		y− 10)2=0
	4		2

	7		25
y3−		y2−16y+28−(		y2−50y+100)=0
	4		4

y³−8y²+34y−72=0 W(4)=64−128+136−72=200−200=0 y=4

	5		y		7		5		y2
(x2 +		x+		)2 − ((y−		)x2 + (		y− 10)x+		− 4) = 0
	2		2		4		2		4

	5		9
(x2 +		x+2)2 −		x2 = 0
	2		4

Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

	5		3
(x2 +		x+2)2 − (		x)2 = 0
	2		2

	5		3		5		3
(x2 +		x+2−		x)(x2 +		x+2+		x)
	2		2		2		2

(x² + x+2)(x² + 4x+2)=0

Mila: x⁴ + 5*x³ + 8*x² + 10x + 4 = 0 I próba x⁴ + 5*x³ + 8*x² + 10x + 4=(x²+bx+2)*(x²+cx+2) (x²+bx+2)*(x²+cx+2)=x⁴+(c+b)*x³+(c+4)x²+(2b+2c)x+4 c+b=5 c+4=8⇔c=4, b=1 sprawdzam, czy zgadzają się pozostałe wsp. 2b+2c=2+8=10 zgodność x⁴ + 5*x³ + 8*x² + 10x + 4 =(x²+x+2)*(x²+4x+2) dalej proste

Mariusz: Adam sposób który pokazałeś też jest dość ogólny ale trzeba porządnie rozwiązać ten układ równań i na ogół wymaga on więcej obliczeń Można wprowadzić pewne założenia aby sposób który podałeś uprościć 1. Zakładamy że równanie jest postaci y⁴+py²+qy+r=0 Założenie to nie zmniejsza ogólności ponieważ możemy zastosować podstawienie lub przedstawić wielomian za pomocą sumy potęg dwumianu korzystając ze schematu Hornera 2. Zakładamy że q≠0 Dzięki temu założeniu będziemu mogli uniknąć dzielenia przez zero Założenie to wprawdzie zmniejsza ogólność ale w przypadku gdy równanie nie spełnia tego założenia można je łatwo sprowadzić do równania kwadratowego

Mila: Adamm, wystarczająco porządnie rozwiązał układ, zawsze można to szybko sprawdzić. Twój sposób Mariuszu, jest wg mnie za trudny dla licealisty.

Mariusz: Co do tego układu to Adam zamiast rozwiązywać ten układ np metodą podstawiania uzyskując równanie szóstego stopnia sprowadzalne do równania trzeciego stopnia zaczął zgadywać Mila licealsta powinien mieć wszystkie tematy potrzebne do wprowadzenia sposobu którego tutaj przedstawiłem Redukcja do równania trzeciego stopnia wymaga znajomości 1. Wzorów skróconego mnożenia (ja to miałem już w podstawówce) 2. Wyróżnik trójmianu kwadratowego Równanie trzeciego stopnia wymaga znajomości 1. Podstawiania lub schematu Hornera (aby usunąć wyraz x²) 2. Wzorów skróconego mnożenia 3. Równania kwadratowego (wzory Vieta, sposób rozwiązywania) 4. Trygonometria (na wypadek gdyby równanie kwadratowe które otrzymamy nie miało pierwiastków rzeczywistych) 5. Wiadomości o funkcjach (definicja funkcji , funkcja różnowartościowa, złożenie funkcji , funkcja odwrotna) Aby obliczyć kąt musimy zdefiniować funkcję odwrotną to wybranej funkcji trygonometrycznej (cosinus bądź sinus) Ja miałem wszystko w liceum

jc: Mariusz, mam dla Ciebie zadanie. Rozwiązać równanie: x³+x²−2x−1=0. To nie jest przypadkowe równanie!

Mariusz: 1 1 −2 −1 −1/3 1 2/3 −20/9 −7/27 −1/3 1 1/3 −7/3 −1/3 1 0 −1/3 1

	1		7		1		7
(x+		)3−		(x+		)−		=x3+x2−2x−1
	3		3		3		27

	1
y=x+
	3

	7		7
y3−		y−		=0
	3		27

Można dopełniać do sześcianu ale chyba lepiej podstawić y=u+v

	7		7
y3−		y−		=0
	3		27

	7		7
u3+3u2v+3uv2+v3−		(u+v)−		=0
	3		27

	7		7
u3+v3−		+3(u+v)(uv−		)=0
	27		3

Zapisujemy równanie w postaci układu równań

	7
u3+v3−		=0
	27

	7
3(u+v)(uv−		)=0 // Nie możemy założyć że u+v=0 ponieważ u+v=y
	9

	7
u3+v3=
	27

	7
uv=
	9

Przekształcamy układ równań do postaci wzorów Vieta dla równania kwadratowego

	7
u3+v3=
	27

	343
u3v3=
	729

	7		343
t2−		t+		=0
	27		729

	49		1329
Δ=		−		<0
	729		729

Teraz gdybyśmy chcieli rozwiązywać to metodą algebraiczną trzeba by wejść w zespolone bawić się wzorem de Moivre , pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki itp

	7		7
y3−		y−		=0
	3		27

Tutaj licealista powinien raczej użyć trygonometrii cos(x+x)=cos(x)cos(x)−sin(x)sin(x) cos(2x)=cos²(x)−(1−cos²(x)) cos(2x)=2cos²(x)−1 sin(x+x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)=2sin(x)cos(x) cos(2x+x)=cos(x)(2cos²(x)−1)−sin(x)(2sin(x)cos(x)) cos(3x)=2cos³(x)−cos(x)−2cos(x)(1−cos²(x)) cos(3x)=2cos³(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos³(x) cos(3x)=4cos³(x)−3cos(x)

	7		7
y3−		y=
	3		27

Przewidujemy rozwiązanie postaci y=a cos(θ)

7   − a   3		−3
	=
a3		4

7   −   3		−3
	=
a2		4

7		9
	=
a2		4

a2		4
	=
7		9

	4
a2=		*7
	9

	2
a=		√7
	3

	7		7
y3−		y=
	3		27

	2
y=		√7cos(θ)
	3

56		14		7
	√7cos3(θ)−		√7cos(θ)=
27		9		27

392		98		7√7		27
	cos3(θ)−		cos(θ)=		| *
27		9		27		98

	√7
4cos3(θ)−3cos(θ)=
	14

	√7
cos(3θ)=
	14

Tutaj musimy zdefiniować sobie funkcję odwrotną do cosinusa dlatego wiadomości o funkcjach mogą być przydatne

	√7
3θ=cos−1(		)
	14

	√7
3θ=cos−1(		)+2π
	14

	√7
3θ=cos−1(		)+4π
	14

	2		√7   cos−1( )   14
y1=		√7cos(		)
	3		3

	2		√7   cos−1( )+2π   14
y2=		√7cos(		)
	3		3

	2		√7   cos−1( )+4π   14
y3=		√7cos(		)
	3		3

	2		√7   cos−1( )   14		1
x1=		√7cos(		)−
	3		3		3

	2		√7   cos−1( )+2π   14		1
x2=		√7cos(		)−
	3		3		3

	2		√7   cos−1( )+4π   14		1
x3=		√7cos(		)−
	3		3		3

Na razie nie widzę nic ciekawszego ale myślę że licealista by sobie z tym poradził

jc: Mariusz, rozwiązaniami równania x³+x²−2x−1=0 są liczby: 2 cos 2π/7, 2 cos 4π/7, 2 cos 6π/7