grupy
mat:
Jak pokazac, ze zbior A={z zespolone: |z|=1} jest zamkniety na dzialanie mnozenia
w G=(C\{0}, .) ?
21 paź 15:55
PW: Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej odbywa się wg prostego wzoru:
jeśli
z1=|z1|(cosα1+isinα1)
z2=|z2|(cosα2+isinα2)
to
z1.z2=|z1||z2|(cos(α1+α2)+isin(α1+α2)),
a więc odpowiedź jest oczywista − iloczyn też jest liczbą leżącą na okręgu jednostkowym.
21 paź 16:08
mat:
Ok. Dziekuje.
A jakby to byl okrag o promieniu 2 to tez zbior ten bylby zamkniety na dzialanie mnozenia?
21 paź 16:40
PW: No nie, bo iloczyn modułów byłby równy 4 (w poprzednim przykładzie moduł iloczynu jest równy
1.1=1, a wiec iloczyn "nie oddala się od zera").
21 paź 16:45
mat:
Ok.
|z1|=1
|z2|=1
Czyli z1*z2=|z1|*|z2|=1*1(cos(α1+α2)+isin(α1+α2))=cos(α1+α2)+isin(α1+α2)
A co z cos(α1+α2)+isin(α1+α2)?
21 paź 17:56
PW: u=cosβ+isinβ zawsze leży na okręgu jednostkowymo środku (0,0):
|u| = cos2β+isin2β = 1
21 paź 18:06
PW: Korekta: Moduł to pierwiastek z sumy kwadratów oczywiście.
21 paź 18:15
mat: Dziekuje. A czy mozna wykazac jakos inaczej bez postaci trygonometrycznej?
21 paź 18:28
Adamm: u=z*w
|z|=1
|w|=1
to
|u|=|z*w|=|z|*|w|=1
21 paź 18:52
mat:
1∊A, wiec jest ok.
Dziekuje.
21 paź 19:37
mat:
A gdyby np. B={z∊ zespolonych: |z|=3} z mnozeniem to wowczas ten zbior nie bylby zamkniety na
mnozenie, bo dla z1, z2∊ zespolonych mielibysmy |z1|=3, |z2|=3 i
|z1z2|=|z1||z2|=3*3=9∉ zespolonych (bo do zbioru B naleza tylko te liczby zespolone,
ktorych modul jest rowny 3).
Tak?
22 paź 14:42
jc: Tak.
22 paź 14:45