liczby zespolone Analiza: Obliczyć: (1+cos(π/8) + isin(π/8)⁴⁰

karty do gry : 1 + cosα + isinα =

α

α

α

α

α

α

cos2(

) + sin2(

) + cos2(

) − sin2(

) + i2sin(

)cos(

)

2

2

2

2

2

2

α

α

α

α

α

α

= 2cos2(

) + i2sin(

)cos(

) = 2cos(

)[ cos(

) + isin(

)]

2

2

2

2

2

2

grzest: (1+cos(π/8) + isin(π/8)⁴⁰=

	40 k
=(1 +eiπ/8)40=(eiπ/8+1)40=∑k=040		eikπ/8=...

PW: Czasem warto policzyć tgφ: − jeżeli potęgowana liczba jest równa z=a+bi, to

	b
tgφ=		.
	a

U nas

	sinα		π
tgφ=		, α=		.
	1+cosα		8

Jak łatwo pokazać

sinα
	=
1+cosα

	α   α   2sin cos   2   2
=		=
	α   α   α   α   sin2 +cos2 +cos2 −sin2   2   2   2   2

	α   α   2sin cos   2   2		α   sin   2		α
=		=		= tg		.
	α   2cos2   2		α   cos   2		2

Niektórzy pamiętają ten wzór:

	sinα		α
		= tg		.
	1+cosα		2

Tak więc

	π
tgφ=tg		,
	16

wobec czego

	π		π
z=|z|(cosφ+isinφ) = |z|(cos		+isin		),
	16		16

	π
|z|2 = (1+cosα)2+sin2α = 1+2cosα+cos2α+sin2α = 2(1+cosα)=2(1+cos		).
	8

	π
Zajrzeć do tabeli wartości niektórych kątów, ile to jest cos		, i wszystko już mamy (to
	8

jest ten sam wynik jaki uzyskał karty do gry).