całkowanie przez części student: Całkowanie przez części ∫e^2x *sin(x)dx

Mariusz: Możliwy wybór części u=e^2x dv=sin(x)dx du=2e^2xdx v=−cos(x) u=sin(x) dv=e^2xdx

	1
du=cos(x)dx v=		e2x
	2

Jeśli chcesz aby całka ci się zapętliła to wybierz jeden dobór części i bądź konsekwentny w swym wyborze podczas drugiego całkowania przez części Jeżeli chcesz otrzymać układ równań na całkę to użyj obydwu doborów części cały czas całkując ∫e^2xsin(x)dx

'Leszek: u = e^2x ⇒u ' = 2e^2x v ' = sin x ⇒ v= − cos x calka = − e^2x*cos x + 2 ∫ e^2x cosx dx = − e^2x*cos x + 2 [ e^2x*sin x − 2 ∫ e^2x sin x dx ] = ..... drugi raz przez czesci : u= e^2x ⇒ u ' = 2e^2x v ' = cos x ⇒ v = sin x Otrzymujesz zaleznosc rekurencyjna , wyznacz calke .....

student: który sposób będzie łatwiejszy do obliczeń. czy to ma znacznie czy raz albo dwa razy przez części

'Leszek: Raz przez czesci nic Ci nie da , przez podstawienie tez nic nie uzyskasz , tego typu calki rozwiazujemy tylko przez rekurencje czyli dwukrotnie calkujemy przez czesci !. Analogicznie oblicz calke : ∫ e^x*cos x dx = ......

student: u=e^x du==cosx dx

student: −cosx*cosx+[2cosx*2e^2x*(−2cosx*2e^2x)]=0 wszystko się poskraca

'Leszek: Zle to robisz : ∫ e^x*cos x dx = e^x*sin x − ∫ e^x*sin x dx = e^x *sin x − [ −e^x cos x + + ∫ e^x cos x dx ] ⇔ ⇔ 2 ∫ e^x cos x dx = e^x sin x + e^x cos x ⇒ ⇒ ∫ e^x cos x dx = 0,5*e^x(sinx + cos x) Dwa razy calkowalem przez czesci : u= e^x ⇒ u ' = e^x v ' = cos x ⇒ v = sin x oraz drugi raz przez czesci u = e^x ⇒ u ' = e^x v ' = sin x ⇒ v = − cos x

Adamm: stała całkowania!

'Leszek: Tak zgadza sie , chcialem pokazac metode sadzac , ze student uzupelni , nota bene scislej mowiac nalezaloby pokazac ,ze funkcja podcalkowa jest ciagla i jeszcze na koncu nalezy sprawdzic wynik przez rozniczkowanie !

student: − e2x*cos x + 2 ∫ e2x cosx dx = − e2x*cos x + 2 [ e2x*sin x − 2 ∫ e2x sin x dx ] = −cosx*cosx+[2cosx*2e2x*(−2cosx*2e2x)]=0 wszystko się poskraca

'Leszek: Przy drugim calkowaniu przez czesci zmien kolejnosc , pokazalem nie wychodzi 0 Patrz moj wpis o 18.55

student: to tak ma być −2e^2x*sinx+4e^2x*sinxdx=2e^2x*2sinx*dx

Mariusz: Jak chcesz użyć obydwu doborów części to sałkujesz w ten sposób Z pierwszego całkowania przez cząści masz ∫e^2xsin(x)dx=−e^2xcos(x)+2∫e^2xcos(x)dx Z drugiego całkowania przez części masz

	1		1
∫e2xsin(x)dx=		e2xsin(x)−		∫e2xcos(x)dx
	2		2

Otrzymujesz uklad równań ∫e^2xsin(x)dx=−e^2xcos(x)+2∫e^2xcos(x)dx

	1		1
∫e2xsin(x)dx=		e2xsin(x)−		∫e2xcos(x)dx
	2		2

z którego możesz policzyć zarówno całkę ∫e^2xsin(x)dx jak i całkę ∫e^2xcos(x)dx ∫e^2xsin(x)dx=−e^2xcos(x)+2∫e^2xcos(x)dx 4∫e^2xsin(x)dx=2e^2xsin(x)−2∫e^2xcos(x)dx 5∫e^2xsin(x)dx=2e^2xsin(x)−e^2xcos(x)+∫0dx 5∫e^2xsin(x)dx=2e^2xsin(x)−e^2xcos(x)+C₁

	1
∫e2xsin(x)dx=		e2x(2sin(x)−cos(x))+C
	5

student: dzięki Panowie coś już więcej wiem