indukcja, nierówności
nick: Korzystając z zasady indukcji rozwiąż poniższe nierówności:
1) n!<2
n
2) n
n+1 >(n+1)
n
| | 1 | | 1 | | 1 | |
3) 1+ |
| + |
| +...+ |
| >√n |
| | √2 | | √3 | | √n | |
18 paź 21:23
Milo: 3)
| | 1 + √2 | |
dla n = 2 mamy |
| > √2 co zachodzi (sprawdź!) |
| | √2 | |
załóżmy, że prawdziwe jest
| | 1 | | 1 | |
1 + |
| + ... + |
| > √n |
| | √2 | | √n | |
udowodnimy, że z tego wynika
| | 1 | | 1 | | 1 | |
1 + |
| + ... + |
| + |
| > √n+1 |
| | √2 | | √n | | √n+1 | |
dowód:
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
1 + |
| + ... + |
| + |
| > (z założenia ind.) √n + |
| = |
| | √2 | | √n | | √n+1 | | √n+1 | |
| | √n2+n + 1 | | √n2 + 1 | | n+1 | |
= |
| > |
| = |
| = √n+1 |
| | √n+1 | | √n+1 | | √n+1 | |
18 paź 21:39
nick: dzięki, a możesz napisać dowód do dwóch pozostałych?
18 paź 21:48
Blee:
A sam nie potrafisz sprobowac?
18 paź 23:15
Blee:
Pierwsze jest zrobione na tym forum i to dzisiaj bylo robione
18 paź 23:15
jc:
1+1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√n ≥ 1/√n + 1/√n + ... + 1/√n = n/√n = √n
18 paź 23:17
jc: Drugie jest prawdziwe dla n ≥ 3.
18 paź 23:19
jc: (2)
Dla n = 3 mamy 43=64 < 34=81
Pozostał dowód implikacji (przejdziemy od n−1 do n).
Załóżmy, że nn−1 < (n−1)n.
Mnożąc stronami powyższą nierówność przez nierówność
(n−1)n (n+1)n = (n2−1)n < n2n
otrzymujemy
(n−1)n (n+1)n nn−1 < (n−1)n n2n,
a stąd
(n+1)n < nn+1.
18 paź 23:50
jc: Przy okazji. Nierówność można zapisać w postaci:
n1/n > (n+1)1/(n+1)
W szczególności
91/9 > 101/10 > 111/11
a więc
91/9 > 111/11
a stąd
911 > 119
(zadanie z ostatnich dni)
18 paź 23:54
nick: dziękuję
19 paź 16:51