Zbiór wartości, suriektywność Fanabela: Witam, mam problem z takim zadaniem: Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji:

	1
f(x)=sinx+
	|sinx|

	π
Czyli dziedzina to x≠		+kπ, gdzie k należy do całkowitych
	2

i tu zaczynają się schody próbowałam podstawiania t za sinx, gdzie t należy do [−1,1], rozbijania na przypadki, a także obu metod włącznie i nie wychodzi mi nic sensownego. Teoretycznie mogłabym spróbować podstawić t, spróbować narysować wykres z przebiegu zmienności funkcji i potem podstawić za t sinusa, ale nie wiem czy ta droga jest dobra, a na ćwiczeniach nie przerabialiśmy jeszcze pochodnej, więc musi istnieć prostszy sposób. I drugie zadanie: Sprawdzić czy funkcja odwzorowuje zbiór X w Y oraz czy odwzorowuje zbior X na zbiór Y. Sprawdzić suriektywność: 1.) f(x)=2^x+1 + sinx, X=R, Y+[−1,∞)

	1
2.) f(x)=xsin(		π), X=(0,+∞), Y=R
	x

Tutaj też mam problem, gdyż wcześniej liczyłam to w ten sposób, że za y podstawiałam jakieś Z wyliczałam x i sprawdzałam czy zachodzi dla każdego Z w zbiorze Y albo po prostu rysowałam wykres funkcji, a tutaj szczerze mówiąc nie wiem jak się za to zabrać. Proszę o jakieś wskazówki i z góry dziękuję

Jerzy: Zad 1) Zacznij od poprawnego wyznaczenia dziedziny:

	1
Dla sinx > 0 mamy: f(x) = sinx +
	sinx

Jeśli sinx = 1, to f(x) = 2 Jeśli sinx → 0⁺, to f(x) → +∞ czyli: Z_w = <2;+∞)

	1
Dla sinx < 0 mamy: f(x) = sinx −
	sinx

Jeśli sinx = −1 , to f(x) = 0 Jeśli sinx → 0⁻ ,to f(x) → + ∞ Ostatecznie: Z_w = <0;+∞)

Blee: W drugim zadaniu (1) Nalezy zauwazyc, ze funkcja g(x) = 2^x+1 przyjmuje wartosci wieksze od 0 (czyli y> 0)natomiast h(x) = sin x przyjmuje wartosci z przedzialu [−1, 1] Stad wyciagasz wniosek ze funkcja f(x) = 2^x+1 + sinx NIE MOZE przyjac wartosci rownej −1

Jerzy: I nie musi przyjmować wartości −1, bo to ma być odwzorowaniw: X w Y.

Jerzy: Zad 2) 1) Funkcja odwzorowuje: X w Y 2) Funkcja odwzorowuje: X na Y

Fanabela: Ok, bardzo dziękuję za wytłumaczenie, już wszystko rozumiem − ten sposób z wyznaczeniem zbioru wartości jest o wiele prostszy niż to co kombinowałam z przebiegiem zmienności funkcji Jeszcze raz dziękuje za rozwiązanie obu zadanek!

Fanabela: Zaraz, zaraz! mam tylko jedno zastrzeżenie czy w zadaniu 2 przykładzie 2 nie powinno być odwzorowanie "w"?

	1
bo sin(		π) przyjmuje wartości z przedziału (0,1]
	x

	π
ponieważ x należy do (0,∞) czyli		zawsze będzie należał do zbioru (0,π) czyli jak
	x

pomnożę sinusa razy x, który należy do (0,∞) to ten wynik też będzie należał do zbioru (0,∞), czyli odwzorowanie "w". Nie wiem czy dobrze myślę...?

Fanabela:

	1		1
Nie zaraz przecież jak np. x=		to wtedy sin(		π) = sin 2π czyli sinus
	2		x

może przyjmować także wartości ujemne, czyli w tym przypadku zbiór funkcji f(x) =[−U[{1}{2},{1}{2}] ale w dalszym ciągu coś mi się tu nie zgadza, bo wg odpowiedzi to funkcja "w" a nie "na"...

Jerzy: Przemyśl to jeszcze raz

Fanabela: Czyli tak zaczęłam wypisywać sobie kolejne liczby i taki wniosek:

	1
−jak biorę		to zawsze wychodzi sinxπ a to jest równe 0, tak?
	x

	n
−jak biorę		, gdzie m>n to sinus "wpada" do przedziałów z wartościami dodatnimi
	m

	n
−jak biorę		gdzie n>m to sinus wpada do przedziałów z wartościami ujemnymi,
	m

które pomnożone przez x >0 dają wartości ujemne −jak biorę x należącego do naturalnych to sinus wpada do przedziału (0,1) czyli wynika z tego, że zbiór wartości funkcji będzie równy R, czyli obejmuje cały zbiór czyli mam suriekcję, prawda?

Jerzy: OK. Odwzorowanie jest w , bo: lim_{x →+/−∞}x*sin(π/x) = π

Jerzy: Może jeszcze ta granica:

	π* sin(π/x)		sin(π/x)
limx→∞ x*sin(π/x) = limx→∞		= π*		= π
	π   x		π   x

Inka10: Witam. Ponawiam temat, ponieważ nie rozumiem dlaczego ta granica równa jest π i na jakiej podstawie została wyznaczona, skoro π się skrócą, a x "wskoczy" do licznika.

Jerzy: Otóż zapamiętaj ważną granicę:

	sinx
limx→0		= 1
	x

PW:

	π
No i co − wrócisz do pierwotnej postaci? Pomyśl po co w mianowniku pojawia się		, choć go
	x

wcale nie było.

Inka10: Nie wiedziałam o tej granicy, dlatego dzielenie przez ^π_x wydawało mi się bezsensowne. Dziękuje za wyjaśnienie. Już prawie rozumiem. Chciałam jeszcze spytać, dlaczego w tej granicy z zadania x dąży do ∞, a tu do 0. Czy to w tym twierdzeniu nie ma znaczenia?

Jerzy: Jesli x →∞ , to 1/x →0

Jerzy: W tym zadaniu x → ∞ , a π/x → 0

ania767: A, tak racja. Bardzo dziękuje.