Dowody wprost związane z liczbami pierwszymi i kwadratami liczb naturalnych Sekhmet: Udowodnij, że jedyną liczbą pierwszą p taką, że 2p − 3 jest kwadratem liczby naturalnej, jest p = 2. Mam kilka zadań podobnych do tego związanymi z liczbami pierwszymi i potęgami i nie mam pojęcia jak się do nich zabrać. Od czego powinienem zacząć? Daje coś zapisanie tego w formie: n² = 2p − 3, gdzie n ∊ ℕ? Powinienem rozpatrywać jakieś przypadki?

Milo: Lemat: Kwadrat liczby naturalnej jest podzielny przez 4 lub daje resztę 1 z dzielenia przez 4 Dowód: n∊ℕ jest parzyste bądź nieparzyste. Czyli dla pewnego k∊ℕ n = 2k lub n = 2k−1 n² = (2k)² = 4k² ⇒ 4|n² lub n² = (2k−1)² = 4k² − 4k + 1 = 4(k² − k) + 1 ⇒ 4|n² − 1 ⇒ n² daje resztę 1 z dzielenia przez 4 Więc na mocy lematu 2p − 3 musi dawać resztę 0 lub 1 z dzielenia przez 4 Dla pewnego k∊ℕ∪{0} 2p − 3 = 4(k+1) lub 2p − 3 = 4k + 1 2p = 4k + 7 lub 2p = 4(k+1) pierwsze równanie jest sprzeczne − liczba po lewej jest parzysta, a po prawej nieparzysta z drugiego mamy p = 2(k+1), czyli p jest parzyste, a jedyną parzystą liczbą pierwszą jest 2.