Granica ciągu Parapapapa: Cześć! Mam problem z wyznaczeniem granicy ciągu o wyrazie ogólnym: u_n=[(n²+2)/(2n²+1)]ⁿ². Mi wychodzi e do nieskończoności, bo potęga wyłączona za nawias ma stopień licznika wyższy od mianownika. Wolphramalpha podaje odpowiedź 0, z kolei twórcy podręcznika e^3/2. Dzięki za pomoc.

jc:

	n2+2		n2+2		1		1		3
0 <		<		=		+		≤		dla n ≥ 2.
	2n2+1		2n2		2		n2		4

(3/4)ⁿ² →0 dlatego granicą Twojego ciągu jest 0.

kochanus_niepospolitus: Standardowe rozwiązanie: ułamek:

n2+2		2n2 + 1 − n2+1		1
	=		= 1 +
2n2+1		2n2+1		2n2+1   1−n2

potęga:

	2n2+1		1−n2
n2 = n2 *		*
	1−n2		2n2+1

więc mamy:

	1−n2
exp { limn−>∞ n2*		} = // [ e−∞ ] // = 0
	2n2+1

jc: Standardowe? Jaki związek ma ostatnia linia z naszym zadaniem?

iteRacj@:

	1
(1 +		)r = er
	r

r→ _∞

iteRacj@: za dużo o r

	1
(1 +		)r = e
	r

r →_∞

jc: Czym jest r w naszym zadaniu?

iteRacj@:

	2n2 + 1
r =
	1− n2

iteRacj@:

	1+n2
postajemy e i podnosimy je do potęgi
	2n2 + 1

i to jest to e^−∞ z osttniej linijki

jc: Napisałeś, wcześniej, że r→∞. W ostatnim wpisie jednak r→−2.

Jerzy:

	1
Tyle,że limn→∞ tego ułamka , to:		, a nie − ∞
	2

jc: Chodziło o wpis 12:00. Wpisu z 12:03 nie rozumiem. Na jakiej podstawie stwierdzamy, że granicą jest zero?

jc:

2n2+1
	→−2. O jakim ułamku piszesz?
1−n2

Jerzy: 12:03

jc: No tak, ale z wpisu o 12:03 nic nie rozumiem. Czy mógłbyś zacytować odpowiednie twierdzenie, na podstawie którego mamy wynik.

kochanus_niepospolitus:

	n2+2
lim (		)n2 = // przekształcenie pokazałem wcześniej // =
	2n2+1

	1
= lim (1 +		)n2 = // przekształcenie podałem wyżej // =
	2n2+1   1−n2

	1
= lim (1 +		)n2 * [(2n2+1)/(1−n2)] * [(1−n2)/(2n2+1)] =
	2n2+1   1−n2

	1
= lim [(1 +		)(2n2+1)/(1−n2)] n2*(1−n2)/(2n2+1) =
	2n2+1   1−n2

// stosujemy: lim (1 + 1/n)ⁿ = e¹ = [e]^{lim n2*(1−n2)/(2n2+1)} = // zapis pomagający zapisywać działania w potędze liczby 'e' // = exp { lim n²*(1−n²)/(2n²+1) } = ... i to już wyżej pokazywałem

jc: Dlaczego ... = [e]^{lim n2*(1−n2)/*2n2+1)} ? Po lewej stronie nie ma przecież lim (1+1/n)ⁿ.

kochanus_niepospolitus: masz rację ... zrobiłem głupi błąd jadąc 'z automatu' nie będzie 'e' tylko '4'

jc:

	sin n
A jak będzie w tym przykładzie: lim (		)n ?
	2

kochanus_niepospolitus: korzystam z tw. o 3 ciągach

	1		sin n		1
−		≤		≤
	2		2		2

zrozum ... ja nie napisałem, że Twoje rozwiązanie jest błędne, bo nie jest, po prostu na moment pisania stwierdziłem, że bardziej 'standardowym' podejściem jest doprowadzenie do liczby Eulera. A jak się okazało − to nie będzie liczba Eulera

jc: Rozumiem, ale w takich przypadkach dobrze jest zacytować odpowiednie twierdzenie. Obawiam się, że zaproponowane przez Ciebie rozwiązanie zostałoby ocenione na zero punktów.

Jack: @jc A czy moznaby dac ograniczenie gorne po prostu

n2+ 0.5n2		3
	=		?
2n2		4