Liczby zespolone, postać trygonometryczna Michał: Witam, mam narysować wykresy spełniające poniższe nierówności. Problem mam jedynie jednak z wyznaczeniem tych zbiorów. a) Im(z²) ≥ Re[(ż²)]

	(1 + i)z
b) Im(		) ≥ 0
	(1 − i)ż

*ż −> sprzężenie

Jerzy: a) Im( z²) = Im (x² + 2xyi − y²) = 2xy Re(z^*2) = Re(x² − 2xyi − y²) = x² − y²

PW: Standardowo: z = x + iy, z̅ = x − iy i policz z² oraz z̅²

PW: O, nie zdążyłem. Przepraszam, Jerzy, jadłem śniadanie i nie odświeżyłem.

Michał: Pełne polecenie brzmi: "Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki". Dlatego od razu zapisywałem z w postaci trygonometrycznej zⁿ = [r(cos γ + i sin γ)]ⁿ. Jak dojść do takiej postaci z 2xy i x² − y²? To mi sprawia największy problem, po prostu nie wiem jak zrobić poprawnie sprzężenie dla postaci trygonometrycznej.

PW: Postać trygonometryczna w takim zadaniu raczej przeszkadza niż pomaga. Chcesz posługiwać się kątami i długościami zamiast współrzędnymi punktów?

Michał: Tak było podane u Skoczylasa i tak w sumie zacząłem robić te zadania. Np. Re(z⁴) ≥ 0 doprowadzałem do postaci r⁴ * cos 4α ≥ 0 i sprawdzałem na których przedziałach cos 4α ≥ 0. W takim razie jak podejść do 2xy ≥ x² − y², a następnie jak dokładnie narysować taki wykres?

PW: x²−2xy+y²−2y²≤0 (x−y)²−(√2y)²≤0 (x−y−√2y)(x−y+√2y)≤0 − a teraz?

Michał: Naprawdę, nie mam pojęcia jak to rozgryźć w tej postaci.

Jerzy:

	1
x − y − √2y = 0 ⇔ (1 + √2)y = x ⇔ y =		*x .... i co to za funkcja ?
	1 + √2

Ariel: a*b≤0 gdy a≤0 b>0 lub a≥0 b<0

Michał:

	1
y = (1 +		)x
	√2

	√2
y = (1 +		)x
	2

cos 0 i sin 45?

Jerzy: @Ariel .... a dlaczego wykluczasz b = 0 ?

PW: Iloczyn dwóch wyrażeń jest niedodatni, gdy wyrażenia te są zerami lub są różnych znaków. Jedna z możliwości: x − y − √2y ≥ 0 ∧ x − y + √2y ≥ 0, a to są przecież półpłaszczyzny wyznaczone przez wykresy funkcji liniowych.

Jerzy: @Michał ... popraw drugi zapis i pytam jeszcze raz , jakie to funkcje ?

Ariel: Bo mi sie tak Jerzy napisalo

Michał:

	x
y =
	1 + √2

Funkcja rosnąca z dziedziną liczb rzeczywistych.

Jerzy: Ale jaka to funkcja ?

Michał: Liniowa

Jerzy: Nareszcie . Teraz czytaj wpis PW z 10:06 . Zatem zapis: y ≤ a* x oznacza półpłaszczynę pod prostą y = a*x wraz z tą prostą.

Michał: Teraz rozumiem. Wielkie dzięki i dobrego dnia.