wstep do matematyki mateusz: witam moglby ktos pomoc ? Udowodnić nie wprost następujące twierdzenie : Jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi i x² + y² < 1, to x + y < √2.

PW: Z nierówności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną x²+y²≥2√x²y² = 2|x||y|, a więc z założenia wynika (1) 2|x||y| < 1. Gdyby dla pewnych x, y było (2) x+y≥√2, to (x+y)²≥2 x²+y²+2xy≥2 2xy≥2−(x²+y²) Prawa strona jest liczbą większą od 1 (od 2 jest odjęta suma mniejsza niż 1), czyli byłoby 2xy>1, co przeczy (1), gdyż 2xy≤2|x||y|<1. Otrzymana sprzeczność oznacza, że przypuszczenie (2) jest zdaniem fałszywym.