Pomocy nieogarniam: Dla jakich wartości parametru p równanie x³−(p+1)+px=0 ma trzy różne pierwiastki, przy czym jeden z nich jest średnia arytmetyczna dwóch pozostałych?

nieogarniam: W równaniu powinno być x³−(p+1)x² +px

3Silnia&6: Wylaczajac x otrzyumujemy x(x²−(p+1)x+p) pierwszym pierwiastekiem jest x₀ = 0, kolejne dwa wyznaczamy z rownania kwadratowego Δ = (p+1)² − 4p = (p² +2p +1) − 4p = p² − 2p + 1 = (p−1)² → √Δ = p−1

	(p+1) − (p−1)
x1 =		= 1
	2

	(p+1) + (p−1)
x2 =		= p
	2

Rozne pierwiastki, a jeden z nich jest srednia arytmertczna pozostalych 2x₀ = x₁ + x₂ 0 = 1 + p p = −1 2x₁ = x₀ + x₂ ⇔ 2 = 0 + p ⇔ p = 2 2x₂ = x₀ + x₁ 2p =0 + 1 p = 1/2 odp. dla p ∊ { −1, 0.5, 2 }

nieogarniam: Bardzo dziękuję!

PW: Jeżeli Δ=(p−1)², to √Δ=|p−1|. Wyliczenia x₁ i x₂ nie będą takie proste.

Jerzy: Witaj PW Trafna uwaga. Ponadto dla p = 0 , mamy tylko dwa pierwiastki.

5-latek: Witaj PW Takie bylo tez rozwiazanie na www. zadania info.pl

kochanus_niepospolitus: co prawda w samym rozwiązaniu z 02:53 jest nieprawidłowe uproszczenie, które PW wytknął, ale dla √Δ = 1 − p (czyli p<1)

	p+1 − (1−p)
x1 =		= p
	2

	p+1 + (1−p)
x2 =		= 1
	2

czyli dokładnie takie same pierwiastki (tylko w innej kolejności).

PW: Jasne, ale obie możliwości p>1 i p<1 muszą być rozpatrzone, inaczej mamy dobrą odpowiedź uzyskaną na podstawie błędnego rozumowania

3Silnia&6:

	−b ± √Δ
zamiast pisac x1,x2, moge napisac x =		,wiec jaki jest sens rozpatrywania p>1
	2a

czy p<1

PW: Napisałeś, że Δ=(p−1)² → √Δ=p−1, a to nie jest prawda (prawda tylko dla p>1, a o p<1 nic nie piszesz). Tym dziwniejsze jest, że spokojnie przyjmujesz p=−1 jako jedno z rozwiązań.

3Silnia&6: Ogolnie nic sie nie stanie jak wezme p=−1 (ogolnie p<1), bo wtedy drugi pierwiastek bedzie x=1 Z delta rzeczywiscie nie wypada pozbywac sie tej wartosci bezwzglednej, ale mysle, ze odpowiedz √Δ = |p−1| ⇒ x₁ =p, x₂ = 1 powinno sie dostac max pkt. Moze ktos z was naucza w szkole i zna wymagania kluczowych rozwiazan ?