Wyznacz wyraz ogólny ciągu arytmetycznego, jeżeli wiadomo że: Madziaxx3: Wyznacz wyraz ogólny ciągu arytmetycznego, jeżeli wiadomo że: A) a1 + a4 = 11, a7 − a3 = 11 B) a3 − a5 = 4, a2 * a4 = 6

Madziaxx3: nie wiem dokładnie czy a1 + a4 liczy sie jako a5 czy jakoś inaczej

Jolanta: wzór na a_n znasz ?

Madziaxx3: no tak, an=a1+(n−1)*r ale jak go zastosować tutaj

the foxi: a₄=a₁+3r a₄+a₁=2a₁+3r a₅=a₁+4r Rzadko kiedy tak jest, Pani Madziu. (: a_n=a₁+(n−1)r Proszę postawić a₄, a₃ i inne i rozwiązać dany układ równań.

Jolanta: a_n to wyraz ciagu i tak a₄=a₁+3r a₇=a₁+6r rozumiesz?

the foxi: A) a₁+a₁+3r=11 a₁+6r−a₁−2r=11

Madziaxx3: rozumiem ale dalej nie rozumiem jak obliczyć samo a1 żeby skorzystac z tego wzoru

the foxi: Z drugiego równania łatwo wyznaczyć r, ponieważ a₁ się skraca. Tak wyliczone r (2,75) wstawiamy np. do pierwszego równania i dostajemy: 2a₁+8,25=11 Dalej pewnie Pani sobie poradzi, proste równanie.

Jolanta: układ równań a1+a₄=11 a₇−a₃=11 podstaw za a4 a₁ +3r i td

Jolanta: a₁+a₁+3r=11 a₁+6r−(a₁+2r)=11

Jolanta: z drugiego a₁+6r−a₁−2r=11 4r=11

	11
r=
	4

podstawiamy do pierwszego

	11
2a1+3*		=11
	4

Madziaxx3: a1+a1+31=11 a1+a1+8,25=11 8,25−11=2a1 −2,75=2a1 /:2 −1,37=a1 Tak ma być?

Madziaxx3: Tam miałobyć 3r a nie 31 ._.

Madziaxx3: ale juz widze ze moje jest zle DD

the foxi: Prawie dobrze. (: 2a₁+8,25=11 2a₁=2,75 a₁=1,375

Jolanta:

	33
2a1=11−
	4

	1
2a1=11−8
	4

	3
2a1=2
	4

	11
2a1=
	4

	11
a1=
	8

Madziaxx3: Dobrze więc teraz jak mamy to a1 ¹¹₈ / 1,375 podstawiamy do wzoru na an i koniec tak?

the foxi: Owszem, podstawiamy wraz z wyliczonym r.

Jolanta: raczej ułamki zwykłe stosujemy podstawiasz a₁ i r do wzoru na a_n

Madziaxx3: Wyszło mi : an=¹¹₈ + ¹¹₄n − ¹¹₄ an=¹¹₈ − ¹¹₄ + ¹¹₄n

Jolanta: Spójrz na to jeśli chcesz lepiej zrozumiec ciągi 3 , 5 ,7 ,9,11,13,15,17... r czyli róznica miedzy wyrazami wynosi 2 a₁=3 a₂=a₁+r=3+2=5 a₅=a₁+4r=3+4*3=3+12=15

Jolanta:

	11		11
=−		+		n
	8		4

Jolanta: wracajac do tego co napisałam wyżej a₅=a₁+4r ale takze a₅=a₂+3r albo a₅= a₃+2r

Madziaxx3: Ok czyli wyszło źle jak opuszczałam nawias to pomnozylam 11/4 przez n oraz −1 ktore bylo w nawiasie stad mialam 3 ulamki bo dochodzi jeszcze a1 dlaczego wyszły w twoim wyniku 2 a nie 3?

Madziaxx3: an=¹¹₈ + (n−1) * ¹¹₄ an= ¹¹₈ − ¹¹₄ + ¹¹₄n tak dokladnie mi wyszlo

Jolanta: dobrze ci wyszło : ) ja tsprowadziłam do wspólnego mianownika i dodałam

Madziaxx3: ahh.. jestem głupia Dziękuje bardzo za pomoc. Poćwiczę to jeszcze na innych przykładach i powinno być super. Pozdrawiam, dzięki!

Jolanta: poczekaj w b zrób a₅=a₃+2r

Madziaxx3: oki chwileczke

Madziaxx3: a1 +2r+(a1+4r) = 4 a1+a1 + 2r+4r=4 2a1 + 6r = 4 Co zrobić jak wychodzi jak a1 sie nie skreśla?

Madziaxx3: CZy powinien być minus przed nawiasem a nie plus pomimo tego że jest a3+a5? chyba nie

Jolanta: minus

Jolanta: w zadaniu masz a₃−a₅

Madziaxx3: oki więc r=−2 i podstawiam teraz pod tamto mnożenie tylko pewnie pod mnożenie jest inny wzór niż pod dodawanie :x

Madziaxx3: aaaa no to u mnie w książce jest dodawanie w zadaniu źle napisałam u góry

Madziaxx3: więc jak wyjść bez minusa z tej sytuacji?

Madziaxx3: 2a1 + 6r = 4 dokladnie z tego, czy po prostu teraz bedzie inny wzór jak jest dodawanie :3

the foxi: Dokładnie tak. (: Oraz drugie równanie, (a₁+r)(a₁+3r)=6

Jolanta: znasz wzór na wyraz środkowy ? tzn jezeli masz np a₅ i a₇ jak obliczyć a₆ ?

Madziaxx3: nie znam :c

Jolanta:

	a5+a7
byłoby		=a6 nie znasz ?
	2

Madziaxx3: Teraz znam te oba ale dalej nie wiem jak je zastosowac

Jolanta:

	a3+a5
		=a4
	2

4
	=a4
2

a₄=2

Jolanta: a₃=a₁+2r ale takze a₃=a₂+r a₅=a₂+3r

Madziaxx3: teraz jak znamy a4 to bedziemy mogli potem wyliczyc a2 z a2*a4=6 Ale jak teraz wyliczymy to r? (a1+r)(a1+3r)=6 z tego wzoru nic nie rozumiem bo tutaj mnozymy te nawiasy przez siebie ale jak to pomnożyć a1*3r np?

Madziaxx3: i tutaj jak bylo: ⁴₂=a4 a4=2 to nie powinno być −2?

Jolanta: podsumujmy a₃+a₅=4 a₂*a₄=6

a3+a5
	=a__4
2

4
	=a4
2

a₄=2 a₂*a₄=6 a₂*2=6 a₂=3 a₄=a₂+2r 2=3+2r

Madziaxx3: Ahh. rozumiem już, liczba wzorów w ciągach mnie przeraża... i jak już mamy to: a4=a2+2r 2=3+2r to już jest wyraz ogólny ciągu i wystarczy na odpowiedź czy teraz jeszcze coś ? bo w sumie z tego sie da wyliczyć wszystko :3

Jolanta: to co napisalam o 23:20 przydaje się

	−1
r=
	2

a₂=a₁+r a₁=a₂−r

	1		1
a1=3−(−		=3
	2		2

	1		−1
an=3		+(n−1)(		=
	2		2

Jolanta:

	1		1		1		1
an=3		−		n+		=4−		n
	2		2		2		2

Madziaxx3: an=3¹₂ −¹₂ + ¹₂ an= 3¹₂ wychodzi mi coś takiego i na bank znowu coś spieprzyłam, bo nie może być chyba an i a1 tym samym wynikiem O MOJ BOZE

Madziaxx3: bo pominełam N oki, jestem już chyba zmęczona totalnie tymi ciągami xd

Jolanta: masz 3 wzory w ciągu arytmetycznym na sumę na nty wyraz na wyraz środkowy

Madziaxx3: no tak ale są jeszcze do ciągów geometrycznych do monotoniczności, do wyznaczania ujemnych wyrazów ciągu za pomocą delty n1, n2. To też są jakieś dodatkowe wzory i weź to zapamiętaj wszystko na sprawdzian, masakra

Madziaxx3: Ale i tak dzisiaj sie nauczyłam więcej niż przez ostatnie 3 tygodnie matematyki więc dziękuje

Jolanta: wiesz caly problem to sobie to wyobrazić n to miejsce w kolejce −ktoś jest pierwszy ,drugi ...piaty a_n to numerek jaki ma na koszulce r −to różnica między numerami na koszulkach osób,które stoją kołosiebie

Jolanta: w ciągu geometrycznym zamiast róznicy masz iloraz q np 3,6,12 ,24,48,96

Madziaxx3: Rozumiem, rozumiem! Wielkie dzięki za pomoc

Jolanta: a₂=a₁*g a₃=a₁*q*q=a₁*q² albo a₂*q a₆=a₁*q⁵ albo a₂*a⁴ albo a₃*g³ a₄*q² albo a₅*q

Jolanta: dobranoc