potęgi Janka: Która liczba jest większa 9¹¹ czy 11⁹ ? Zaczęłam 9⁹*81......11⁹ a dalej? Proszę o pomoc

Adam: logarytmy miałaś?

jc: 9¹¹ > 11⁹ Funkcja x → x^1/x jest dla x ≥ e funkcją malejącą. x^1/x = e^{(ln x)/x} [(ln x)/x]' = (1 − ln x)/x² < 0 dla x > e. e ≤ x < y x^1/x > y^1/y x^y > y^x w szczególności tak mamy dla x=9 i y =11. Ale poszukaj bardziej elementarnego rozwiązania.

PW: Elementarnie można pokazać porównując logarytmy o podstawie 3 z obu liczb. (1) log₃9¹¹ = log₃3²² = 22. (2) log₃11⁹ = 9log₃11, zaś

	7
(3) log311 <		,
	3

bo 3^7/3 = 3².3^1/3 > 9^.1,3 = 11,7 > 11. Z (2), (3) i (1) wynika, że

	7
log3119 < 9.		= 21 < 22 = log3911.
	3

Funkcja log₃(x) jest rosnąca (korzystaliśmy z tego już wcześniej w (3)), a więc 11⁹ < 9¹¹.

3Silnia&6: Zamiast porownywac liczy 9¹¹ i 11⁹, porownajmy (9¹¹)³ i (11⁹)³ (9¹¹)³ czy (11⁹)³ (3²²)³ czy 1331⁹ < 2187⁹ 3⁶⁶ czy (3⁷)⁹ 3⁶⁶ czy 3⁶³ 3⁶⁶ > 3⁶³ ⇒ 9¹¹ > 11⁹

Janka: dziekuje