Szeregi liczbowe Omikron: Zbadaj zbieżność szeregów:

	π
a) ∑(od n=1 do ∞) 2nsin
	3n

	n2+1
b) ∑(od n=1 do ∞) ln
	n2

Witam, zaczynam swoją przygodę z szeregami, przydałyby mi się jakieś wskazówki do tych przykładów.

mat:

	2
|2nsin(π/3n)|≤π*(		)n, zbieżny
	3

mat:

	n2+1		1		1
|ln		|=|ln(1+		)|≤		zbiezny
	n2		n2		n2

mat: wykrzystalem |sinx|≤x oraz |ln(1+x)|≤x które są spełnione w tym przypadku

mat:

	2
∑(		)n zbiezny bo to szereg geometryczny
	3

	1		1
∑		zbiezny, ogolnie ∑		jest zbiezny, gdy k>1
	n2		nk

'Leszek:

	n2 +1		n2 +1
lim ln (		) → 0 , bo lim		→ 1
	n2		n2

Wniosek ?

Omikron: Nie znałem tych własności, dziękuję.

Omikron: 'Leszek, wynika z tego, że warunek konieczny jest spełniony, ale z tego co wiem nie gwarantuje to zbieżności.

'Leszek: Tak ale @mat pokazal z kryterium porownawczego (17,38) wiec te wskazow dla ucznia (studenta) uzupelniaja sie .

Omikron: Ok, dziękuję wam za pomoc

Blee: Leszek .. i co z tego ze ln −> 0 ? Ciag 1/n takze dazy do 0 ale to nie oznacza ze szereg jest zbiezny

'Leszek: Szanowny kolego @Blee , prosze przeczytaj calosc wskazowek (moja 17.52) i inne .

Omikron: Jeszcze mam takie dwa szeregi:

	1
1) ∑(od n=1 do ∞) √n*sin2
	n

	1   sin2   n
2) ∑(od n=1 do ∞)
	1   tg   √n

Omikron: Up

Omikron:

jc: x ≥ 0, sin x ≤ x sin 1/n ≤ 1/n 0 ≤ √n sin⁽1/n) ≤ √n/n² = 1/n^3/2 −−− Szereg ∑√n sin⁽1/n) jest zbieżny, bo 0 ≤ √n sin⁽1/n) ≤ 1/n^3/2 i szereg ∑1/n^3/2 jest zbieżny. Ostatni szereg też jest zbieżny. x >0, tg x ≥ x, tg 1/√n ≥ 1/√n. sin²(1/n) / (tg 1/√n) < 1/n^3/2.

Adamm:

	1		1
√nsin2(		)≤√n*(		)2
	n		n

sin2(1/n)   tg(1/√n)
	→1
1/n2   1/√n

1/n2		1
	=
1/√n		n3/2

no i komentarz dla ciebie

Omikron: Ok, czyli wszystko na tych zależnościach się opiera. Dziękuję za pomoc!