dowód x: Niech w(x) będzie wielomianem stopnia n o współczynnikach całkowitych takich, że współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1. Udowodnij, że jeśli liczba całkowita X_o jest pierwiastkiem wielomianu, to X_o dzieli wyraz wolny tego wielomianu. w(x) = 1xⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₀ w(x₀) = 0 ⇔ x − x₀ | w(x) ⇔ w(x) = s(x) * (x − x₀) skoro w w(x) mamy mieć 1 przy najwyższej potędze i dzielimy przez wielomian 1 stopnia, to s(x) będzie wielomianem stopnia n−1 o współczynnikach całkowitych z 1 przy najwyższej potędze. s(x) = 1xⁿ⁻¹ + b_n−2xⁿ⁻² + ... + b₀ w(x) = s(x) * (x − x₀) 1xⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₀ = (1xⁿ⁻¹ + b_n−2xⁿ⁻² + ... + b₀) * (x − x₀) = = 1xⁿ⁻¹(x − x₀) + b_n−2xⁿ⁻²(x − x₀) + ... + b₀(x − x₀) b₀(x − x₀) = b₀x − b₀x₀ więc a₀ = − b₀x₀ skoro a₀ można zapisać jako iloczyn −x₀ i b₀, gdzie a₀, x₀, b₀ ∊ Z, to x₀ | a₀ Może być?

kochanus_niepospolitus: a czemu założyłeś, że x₀ ∊ Z na podstawie czego

kochanus_niepospolitus: tfu miało być −−− a czemu założyłeś, że b₀ ∊ Z

x: Założyłem, że jeżeli w(x) ma współczynniki całkowite, to jakkolwiek go nie zapiszę, to i tak będzie miał je całkowite, bo to nadal ten sam wielomian, tylko inaczej zapisany. A skoro tak jest, to b₀ musi być całkowite, bo inaczej b₀x z b₀(x − x){0}) nie będzie miał współczynnika całkowitego..

x: Takie założenie jest ok?

Adamm: wróć od początku napisałeś że s(x) musi mieć 1 przy największej potędze, i być o współczynnikach całkowitych tu jest dużo niejasności

Adamm: to nie powinno być założeniem, powinno być wnioskiem

x: Możesz rozwinąć? Nie rozumiem..