Obliczyć całkę Justyna:

	x2−4x−5
Hej. Mam pytanie. Mam do obliczenia całkę ∫		czy można ją obliczyć nie
	2x2−3x+10

korzystając z tablic całek? Bo nie wiem w jaki sposób.

Mickej: Pewnie że można np rozbijasz ułamek na sumę

	x2		−4x−5
∫		+∫
	2x2−3x+10		2x2−3x+10

i teraz pierwszą całkę dzielisz licznik przez mianownik i dalej jest już prosto ewentualnie jest gotowy wzór na całke postaci

x2dx
x2+k

drugą całkę przekształcasz do takiej postaci aby w liczniku otrzymać pochodną mianownika ponieważ jak wiadomo

	f`(x)
∫		=ln|f(x)
	f(x)

AS:

	x2 − 4*x − 5		1		2*x2 − 8*x − 10
J = ∫		dx =		∫		dx
	2*x2 − 3*x + 10		2		2*x2 − 3*x + 10

	1		2*x2 − 3*x + 10 − 5*x − 20
J =		∫		dx
	2		2*x2 − 3*x + 10

	1		5*x + 20
J =		∫(1 −		)dx
	2		2*x2 − 3*x + 10

	1		5		x + 4
J =		∫dx −		∫		dx
	2		2		2*x2 − 3*x + 10

	x		5		1		4*x + 16
J =		−		*		∫		dx
	2		2		4		2*x2 − 3*x + 10

	x		5		4*x − 3 + 19
J =		−		∫		dx
	2		8		2*x2 − 3*x + 10

	x		5		4*x − 3		5		19
J =		−		∫		dx −		∫		dx
	2		8		2*x2 − 3*x + 10		8		2*x2 − 3*x + 10

	x		95		dx
J =		− ln(2*x2 − 3*x + 10) −		∫
	2		8		2*x2 − 3*x + 10

	x		95
J =		− ln(2*x2 − 3*x + 10) −		J1 gdzie
	2		8

	dx
J1 = ∫
	2*x2 − 3*x + 10

Przekształcam 2*x² − 3*x + 10 Ponieważ Δ = (−3)² − 4*2*10 = −71 < 0 całka będzie typu arctg

	3
2*x2 − 3*x + 10 = 2*(x2 −		*x + 5) = 2*[(x − 3/4)2 − 9/16 + 5]
	2

= 2*[(x − 3/4)² + 71/16]

	dx
J1 = ∫
	2*[(x − 3/4)2 + 71/16]

	4*x − 3
Podstawienie: x − 3/4 = √71/4*t dx = √71/4*dt t =
	√71

	1		√71/4
J1 =		∫		dt
	2		71/16*t2 + 71/16

	1		16		√71		dt		2√71
J1 =		*		*		∫		=		*arctg(t)
	2		71		4		t2 + 1		71

	2√71		4*x − 3
J1 =		*arctg(		)
	71		√71

Ostatecznie

	x		95		2√71		4*x − 3
J =		− ln(2*x2 − 3*x + 10) −		*		*arctg(		)
	2		8		71		√71

	x		95√71		4*x − 3
J =		− ln(2*x2 − 3*x + 10) −		*arctg(		) + C
	2		284		√71

Justyna:

	5
super, dzięki! Tylko dlaczego przed ln nie przepisujemy
	8

	x		95		dx
J=		−ln(2*x2−3x+10)−		∫
	2		8		2*x2−3x+10

Justyna:

	5
wszystko rozumiem tylko nie wiem dlaczego tam nie przepisujemy
	8

AS: Mea culpa,mea culpa przepisując z brudnopisu zgubiłem ten nieszczęsny ułamek

	5
proszę podopisywać przed ln ułamek
	8

Przepraszam

Justyna: dziękuje bardzo musze jeszcez obliczyc calkę oznaczona w przedziale <−4,−1> nie wiem czy dobrze to zrobiłam? ⁻³₂−⁵₈ln54+⁵₈ln15−^95√71₂₈₄arctg(−^19√71₇₁)−u{95 √71}{284}arctg(−^7√71₇₁) dobrze? musze jeszcze wyliczyć ln i arctg?

AS: Dla x = −1 2*x² − 3*x + 10 = 2*(−1)² − 3*(−1) + 10 = 2 + 3 + 10 = 15

	4*x − 3		4*(−1) − 3		−7
		=		=
	√71		√71		√71

Dla x = −4 2*x² − 3*x + 10 = 2*(−4)² − 3*(−4) + 10 = 32 + 12 + 10 = 54

	4*x − 3		4*(−4) − 3		−19
		=		=
	√71		√71		√71

Całka górna (dla x = −1)

	−1		5		95*√71		−7
Jg =		−		*ln(15) −		*arctg
	2		8		284		√71

Ponieważ arctg(−x) = −arctg(x) mamy

	−1		5		95*√71		7
Jg =		−		*ln(15) +		*arctg
	2		8		284		√71

Całka dolna (dla x = −4)

	−4		5		95*√71		−19
Jd =		−		*ln(54) −		*arctg
	2		8		284		√71

	5		95*√71		19
Jd = −2 −		*ln(54) +		*arctg
	8		284		√71

Szukana całka oznaczona Jo = Jg − Jd

Justyna: wielkie dzięki

AS: Mam trochę czasu więc wykańczam zadanie

	1		5		95*√71`		7
Jo = (−		−		*ln(15) +		*arctg		) −
	2		8		284		√71

	5		95*√71`		19
(− 2 −		*ln(54) +		*arctg		)
	8		284		√71

	1		5
Jo = (−		+ 2) +		(ln(54) − ln(15)) +
	2		8

95*√71`		19		7
	*(arctg		− arctg		)
284		√71		√71

	3		5		54		95*√71`		19		7
Jo =		+		*ln		+		*(arctg		− arctg		)
	2		8		15		284		√71		√71

Korzystam ze związku

	x − y
arctgx − arctgy = arctg
	1 +x*y

	19		7		19/√71 − 7/√71
arctg		− arctg		= arctg
	√71		√71		1 + 19/√71*7/√71

	12   √71		12		71
= arctg		= arctg		*		=
	19*7   1 +   71		√71		71 + 19*7

	12		71		√71
arctg		*		= arctg
	√71		204		17

ostatecznie

	3		5		18		√71
Jo =		+		*ln		+ arctg		≈ 28.666
	2		8		5		17