DOWODY bluee: Wykaż, że liczby x=101010 nie można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Jerzy: Aby potęgując liczbę całkowitą na końcu dostać cyfrę zero, musimy potęgować wielokrotność liczby 10, a każda potęga takiej liczby musi na końcu mieć dwa zera.

bluee: Wykaż, że liczba x=3⁸−1 jest liczbą parzystą. Czy takie uzasadnienie jest wystarczające: Iloczyn liczb nieparzystych zawsze będzie nieparzysty, więc jeśli od tego iloczynu odejmiemy liczbę nieparzystą to otrzymamy liczbę parzystą.

Mila: Tak.

bluee: Wykaż, że liczba 5⁹−1 jest podzielna przez 4.

Jerzy: Wystarczy.

Jerzy: A nie 5ⁿ − 1 ?

Jerzy: 5ⁿ − 1 Ustal jakie są ostatnie dwie cyfry każdej potęgi liczby 5 i przypomnij sobie cechę podzielności przez 4

bluee: Nie 5ⁿ, 5⁹

bluee: Każda potęga liczby 5, z wyjątkiem pierwszej potęgi, kończy się na 25. A 25 −1 =24 Czyli liczba jest podzielna przez 4.

Mila: Dobrze. albo tak: 5⁹−1=(5³)³−1=(5³−1)*(5¹⁰+5³+1)= =124*(5¹⁰+5³+1) =4*(31*(5¹⁰+5³+1) )

bluee: W trzecim etapie skorzystałaś ze wzoru skróconego mnożenia, więc zamiast 5¹0, nie powinno być przypadkiem 5⁹?

Mila: 5⁶ powinno byc! a³−b³=(a−b)*(a²+ab+b²)

Mila: Poprawka 5⁹−1=(5³)³−1=(5³−1)*(5⁶+5³+1)= =4*[31*(5⁶+5³+1)]

3Silnia&6: Wykaż, że liczby x=101010 nie można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb całkowitych. a² − b² = 101010 (a+b)(a−b) = 2*50505 wychodzi stad, ze suma a+b jest parzysta, a roznica nieparzysta lub odwrotnie, co jest sprzeczne c.b.d.o.

Mila: 101010=101008+2 a²−b²=101010 (a−b)*(a+b)=4*25252+2 Jeżeli a i b są tej samej parzystości to lewa strona jest podzielna przez 4 a prawa nie jest. Jeżeli a i b są różnej parzystości, to lewa strona jest liczbą nieparzystą , a prawa parzystą.