LOGARYTMY bluee: LOGARYTMY ZAD.1 Uzasadnij, że liczby 5^log₂7 i 7^log₂5 są równe. Próbowałam ze zmianą podstawy logarytmu, ale jak na razie do niczego nie doszłam.

Jerzy: log₂5^log₂7 = log₂7^log₂5 ⇔ log₂7*log₂5 = log₂5*log₂7 ⇔ L = P

bluee: Nie rozumiem jak doszedłeś, do pierwszego etapu

Jerzy: Zlogarytmowałem obie strony logarytmem o podstawie 2

bluee: Przemnożyłeś obustronnie przez log₂ ?

Jerzy: Zlogarytmowałem ! Jeśli: log_ab = log_ac ⇔ a = c

bluee: Logarytmy to moja pięta achillesowa W kolejnym etapie skorzystałeś ze wzoru a^log_ab=b

Jerzy: Nie. Z twierdzenia: log_ab^c = c*log_ab

bluee: Mógłbyś mi podać kilka wzorów, ja znam tylko takie: 1. log_ab=x ⇒a^x=b 2. log_aa^x=x 3. a^log_ab=b 4. log_a(x*y)=log_ax+log_ay 5. log_a ^x_y=log_ax−log_ay 6. log_a x^b=b*log_ax 7. log_bx=^log_ax_logab (zmiana podstawy logarytmu) 8. log_ba=¹_logab

Jerzy:

	m
9. loganbm =		logab ( wyprowadź sama )
	n

10. lob_ab*log_bc*log_cd = log_ad ( też spróbuj wyprowadzić)

bluee: Dzięki

bluee: Jeszcze mam coś takiego: ZAD.2 Uzasadnij, że największą liczbą naturalną spełniającą nierówność log₂(2n)+log₄(4n)+log₈(8n)<14 jest liczba 63, (n należy N₊)

Jerzy: Tutaj skorzystaj ze wzoru nr 9.

Jerzy: A potem oczywiście ze wzoru nr 4.

Jerzy: Ponadto: log₂(2n) = log₂2 + log₂n log₄(4n) = log₄4 + log₄n log₈(8n) = ......

bluee: log₂(2n)=log_aⁿb^m Tu nie ma nic do potęgi.

Jerzy: Dostaniesz:

	1		1
L = log2n +		log2n +		log2n + 3
	2		3

Jerzy: Twój post 14:05 m = 1

Jerzy: Zacznij od mojego postu 14:05 , potem dopiero wzór 9

bluee: i n=1

bluee: ok

Jerzy: Wzór 4 jest niepotrzebny w tym zadaniu.

bluee: Czy log_ab=log_ba

bluee: Mam tak: 3+log₂n+log₄n+log₈n

Jerzy: OK ...teraz wzór 9 dla dwóch ostatnich logarytmów.

Jerzy: Ad 14:12 NIE ! ( patrz wzór 8)

bluee: Tak, też mi tak wyszło czyli 3+1⁵₆ log₂n

bluee: nie, nie powinnam skorzystać ze wzoru 4

Jerzy:

	11
OK ... dalej:		log2n < 11 .. i działaj dalej
	6

bluee: 3+log₂n^11₆

bluee: log₂n<6

Jerzy: Nie... patrz wyżej , jeszcze 2 kroki i po zadaniu.

Jerzy: No , o to chodziło ...teraz: log₂n < 6*log₂2 ... i licz dalej

bluee: ¹¹₆log₂n<<log₂2¹¹

Jerzy: Nie dowidzisz ? log₂n < 6log₂2 ⇔ ?

bluee: Dowidze, tylko nie mam automatycznego odświeżania strony.

bluee: A poza tym chyba niedowidzisz

Jerzy: Masz rację , ale nie o to tu chodzi.

bluee: log₂n<6 log₂2 log₂n<log₂2⁶ n=2⁶=64

bluee: czyli n_max=63

Jerzy: To jest nierówność, a nie równanie.

Jerzy: Ano właśnie ... n < 64 , czyli n = 63.

bluee: albo inaczej log₂n<log₂64 n<64 n<=63

bluee: Dzięki, jeszcze raz

Jerzy: A dlaczego n ≤ 63 ?

bluee: n∊N

Jerzy: Przeczytaj uważnie treść zadania ..... masz wykazać,że n = 63 , a nie n ≤ 63

bluee: Tak, przeczytałam uważnie treść zadania. n∊(0,63> gdzie n∊N, a skoro mam wskazać n_max to logiczne, że wynikiem jest liczba 63.

Jerzy: Dlatego Ci zwróciłem uwagę, abyś nie pisała n ≤ 63 , tylko właśnie n_max = 63 cnw bo to jest odpowiedź na postawione polecenie

bluee: Tak, czy siak oboje wiem o co chodzi.

bluee: Ten wzór, który mi podałeś 12:40 na pewno miał tak wyglądać? Jeśli: log_ab = log_ac ⇔ a = c Nie przypadkiem b=c

Jerzy: b = c

bluee: Tak myślałam.