zadanie z indukcji Ambitny: Witam, miałem do zrobienia zadanie z indukcji matematycznej: treść brzmi następująco https://imgur.com/a/RVLzV Zrobiłem go w ten sposób (przepiszę słowo w słowo z kartki). Prowadzący zwrócił mi uwagę na rodzaj indukcji z jakiej skorzystałem oraz to że liczę dla pewnej liczby n≥6, a nie dla wszystkich liczb. Nie rozumiem o co chodzi. Powiedział, że obliczenia są OK, ale źle sformułowałem indukcję, że niby są jakieś trzy indukcję, i to nie ta, może chodzi o zapis(?) , lecz ja innego nie znam. I BAZA INDUKCJI F₀ = 0, F₁=1 F₂ = F₁ + F₀ = 1 F₃ = F₂ + F₁ = 2 F₅ = F4 + F₃ = 5 F₆ = F₅ + F₄ = 8 F_n= F_n−1 + F_n−2 F_n = 2^(0,5n) dla n≥6 F₆ = 2^{(1/2 * 6)} = 2³ = 8 Nierówność jest prawdziwa II założymy , że nierówność jest prawdziwa dla pewnej liczby n≥6 F_n ≥ 2^(n/2) na to co napisałem zwrócił mi uwagę III Teza indukcyjna (korzystając z założenia udowodnimy że jest ona prawdziwa dla n+1) F_n+1 = F_n + F_n−1 z zał. F_n ≥ 2^(n/2) F_n−1 ≥ 2^((n−1)/2) P[powiedział że nie mogę skorzystać z F_n−1, nie zrozumialem dlaczego] F_n + F_n−1 ≥ 2^n/2 + 2^((n−1)/2) ≥ 2^(n−1)/2(2^1/2 + 1) sqrt(2) ≈ 1.41 ≈ 1 − zaokrągliłem do jedynki, aby otrzymać takie same podstawy i dodać wykładniki potęg F_n + F_n−1 ≥ 2^((n−1)/2) * 2¹ F_n + F_n−1 ≥ 2^{((n−1)/2 + 1000)} ≥ 2^P((n−1)/2 + 2/2)}≥ 2⁽(n+1)/2) co implikuje F_n ≥ 2⁽(n−1+1)/2) ≥ 2⁽n/2) < z założenia Proszę o to by ktoś mnie pokierował, dlaczego to jest źle, i pomógł mi się poprawić, bo sam nie dam rady.

Ambitny: 3 ostatnie linijki poprawić musze bo źle przepisałem F_n + F_n−1 ≥ 2^((n−1)/2) * 2¹ F_n + F_n−1 ≥ 2^{((n−1)/2 + 1} ≥ 2^{((n−1)/2 + 2/2)}≥ 2^((n+1)/2) co implikuje F_n ≥ 2^{((n−1+1)/2)} ≥ 2^(n/2) < z założenia

kochanus_niepospolitus: 1) n=0 ; F₀ = 0 ≤ 1 = 2⁰ n=1 ; F₁ = 1 ≤ 2 = 2¹ 2) n = k ; F_k ≤ 2^k n = k+1 ; F_k+1 ≤ 2^k+1 3) niech n = k+2 L = F_k+2 = F_k + F_k+1 ≤ // korzystając z (2) // ≤ 2^k + 2^k+1 = 3*2^k < 4*2^k = 2^k+2 = P c.n.w.

Ambitny: Nie rozumiem kocahnus, dlaczego nie skorzystałeś z F_n ≥ 2^0.5n ?

kochanus_niepospolitus: źle spojrzałem ... myślałem że jest tam 2ⁿ a nie 2^0.5n

Ambitny: Dokładnie jest to przedmiot związany z algorytmami i strukturami danych. Prowadzący zwraca uwagę na każde zdanie które napisałem, każdy przecinek. Rozumiem go , ale nie jestem w stanie sam poprawić tego zadania, wydawało mi się że mam dobrze, ale tak nie jest,

kochanus_niepospolitus: rozumowanie jak wcześniej 1) n = 6 ..... n = 7 ..... 2) n=k ; F_k ≥ 2^0.5k n = k+1 ; F_k+1 ≥ 2^{0.5k + 0.5} 3) L = F_k+2 = F_k + F_k+1 ≥ // z (2) // ≥ 2^0.5k + 2^{0.5k + 0.5} = (1+√2)*2^0.5k > > (1+1)*2^0.5k = 2^0.5k+1 = 2^0.5(k+2) = P

kochanus_niepospolitus: Teraz jest już dobrze

kochanus_niepospolitus: Błąd w Twoim rozumowaniu jest taki, że: Przyjąłeś, że: założymy , że nierówność jest prawdziwa dla pewnej liczby n≥6 dla JEDNEJ więc F_n ≥ 2^0.5n natomiast nie wiesz czy zachodzi dla F_n−1 ! i tu jest błąd logiczny w Twoim rozumowaniu Zauważ, że ja w tezie przyjmuję prawdziwość dla dwóch kolejnych elementów Zauważ także że nie sprawdziłeś prawdziwości (1) dla F₆ i F₇ (dwóch kolejnych najmniejszych elementów)

Ambitny: Okej, czy mogę tę indukcję podzielić jakoś rozsądnie na etapy? Mianowicie: BAZA, ZAŁ, TEZA. Czy w tego rodzaju indukcji się tego nie stosuje? I BAZA INDUKCJI n = 0; F₀ = 0 ≤ 1 = 2⁰ n = 1; F₁ =1 ≤ 2 = 2¹ n = 2; F₂ = II ZAŁOŻENIE ( dla n = k) n=k; F_k ≥ 2^0.5k n = k+1; F_k+1 ≥2^{0.5k + 0.5} III TEZA ( dla k+2) niech n = k+2 L = F_k+2 = F_k + F_k+1 ≥ korzystając z II // ≥ 2^0.5k + 2^0.5k+0.5 = (1+√2)*2^0.5k >(czy ≥?) (1+1)*2^0.5k = 2^0.5k+1 = 2^0.5(k+2) = P c.n.w

Ambitny: I BAZA n= 0 ; F₀ = 0 ≥2^0.5*0 = 2⁰ = 0 . . . to jeszcze zapomniałem poprawić

Blee: Tak. Mozesz tylko w 'bazie' masz sprawdzic F₆ i F₇ Tam moze byc ostra nierownosc ale.nie musi byc.

Blee: I 2⁰ = 1 a nie 0

Ambitny: Co znaczy że mogę tylko w Bazie>? Czyli mam pominąć 2) Zał i 3)teza i po prostu napisać jako 2) , 3) ah ta terminologia, nigdy nie wiem dokładnie

Ambitny: czyli jakby mam napisać 1)BAZA ,,,, ,,,, 2) ,,,, rownania czy coś 3) .... bez wspomnianego "załozenie" i "teza"?

Ambitny: Źle przeczytałem, już wiem Sorki, ale zestresowany jestem dzisiaj, bo wszyscy liczyli granice, a ja się bawiłem w indukcję i oblałem

5-latek: czyli Nadgorliwość gorsza od faszyzmu

kochanus_niepospolitus: Masz zrobić tak jak zrobiłem o 17:39 czyli: 1) sprawdzić dla F₆ i F₇, że spełniają nierówność 2) zakładamy, że spełniona będzie dla F_k oraz F_k+1 3) wykazujemy, że będzie spełniona także dla F_n+2 odwołując się w trakcie do założeń z (2). W tym momencie indukcyjnie udowodniliśmy to dla wszystkich n≥ 6. Mam nadzieję, że nie muszę pisać, dlaczego w tym momencie mamy to udowodnione dla każdego n≥6

Ambitny: 5−latek Nie rozumiesz, nie chodzi tutaj wcale o nadgorliwość, po prostu chciałem być ambitny, mieć jakieś wyzwanie, bo liczenie granic metodą l'hospitala jest proste. Tzn. oblałem w ten sposób, że muszę dodatkowo rozwiązać drugie zadanie, i poprawić w poprzednim Kochanus, nie musisz, dopatrzyłem się błędu w swoim rozumowaniu, uczę się, dalej będę to robił na własnych błędach, kiedyś może zaczne pomagać innym, jak sam zrozumie pewne rzeczy

Ambitny: Niemniej jednak zrobienie czegoś dodatkowo nie zniechęca mnie, z matmą nie mam generalnie problemu, raczej z indukcją, dowodzeniem − to była moja zmora, ale też się staram to rozumieć. Przyznam szczerzę , że dawno nie dowodziłem, może stąd te zacmienie.

5-latek: Rozumiem , rozumiem , bardziej niz domyslasz . Powodzenia w dalszej nauce

5-latek: czy studiujesz we Wroclawiu?

Ambitny: Nie, nie studiuje we Wrocławiu. W Krakowie

Ambitny: Zapomniałem napisać, bardzo dziękuje kochanus niepospolitus za obszerne wyjaśnienie. Bardzo mi to pomogło.