ciało 6-elemtowe Milo: Wykaż, że nie istnieje ciało, które miałoby dokładnie 6 elementów. Miałem tylko 9 warunków, jakie ciało musi spełniać i nie mam pojęcia, jak tutaj cokolwiek stworzyć.

jc: Najkrócej. Ciało zawiera jako podciało jakieś ciało Z_p, gdzie p jest liczbą pierwszą. Twoje ciało jest przestrzenią liniową nad Z_p, a więc ma p^k elementów. Liczba 6 nie jest jednak potęgą liczby pierwszej, co oznacza, że ciało 6 elementowe nie istnieje.

Milo: Dzięki, jeszcze co prawda nie miałem przestrzeni liniowych, może mi się rozjaśni, gdy już je przerobimy. A powiązane pytanie − jako wskazówkę prowadzący dał takie coś: 1 1+1 1+1+1 ... 1+1+...+1 Na przykład 7 wierszy, więc 1 wartość musi powtarzać (bo jest 6 elementów). Potem wykazalismy, że najmniejsza liczba jedynek, które w sumie dają 0, jest liczbą pierwszą Więc w tym przypadku 1+1=0, 1+1+1=0 lub 1+1+1+1+1=0 Jednak jak dojść od tego do wniosku, że takie ciało nie istnieje? A przede wszystkim − czy tego rozumowania nie można powtórzyć dla ciał np. 7−elementowych? Tzn. Wypisać 8 linijek 1+...+1, stwierdzić, że któraś się powtarza i dojść do wniosku, że można dodać do siebie p jedynek (p − liczba pierwsza) i dostać 0 Domyślam się, że w ciele 7−elementowym (analogia do Z₇) p=7, ale jak to udowodnić? Dlaczego nie np. 1+1=0 lub 1+1+1=0 lub 1+1+1+1+1=0? Dlaczego w tym przypadku to rozumowanie nie prowadzi do nieistnienia takiego ciała (bo ciała 7−elementowe przecież istnieją)?

jc: Ciało 7 elementowe to dokładnie ciało Z₇. Oznaczmy rozpatrywane ciało literą K. Jeśli np. 1+1+1 = 0, to mamy elementy 0, 1, 1+1 tworzą podciało ciała K. Jest to ciało izomorficzne z ciałem Z₃. Na ciało K możemy patrzyć, jak na przestrzeń wektorową nad ciałem Z₃. Niech u₁, u₂, ..., u_k będą bazą tej przestrzeni. Każdy wektor (czyli element K) jest kombinacją liniową wektorów u₁, u₂, ..., u_k, czyli ma postać a₁u₁+a₂u₂+...+a_ku_k. Przedstawienie takie jest jedyne. a₁, a₂, ..., a_k należą do Z₃, a więc mamy 3^k możliwości. Jednak 6 nie jest potęgą liczby 3. Czy miałeś liczby zespolone? Liczby zespolone tworzą 2−wyniarową przestrzeń nad R (bazę tworzą wektory 1, i; każda liczba zespolona jest kombinacją liniową 1 oraz i: z = a + bi).

Adamm: każde ciało skończone ma p^k elementów gdzie p to liczba pierwsza (wyjątek: 1 element) ponadto, każde ciało skończone jest izomorficzne z każdym innym ciałem o tej samej ilości elementów (czyli istnieje tylko jedno takie ciało, tak jakby) czyli np. jeśli masz ciało Z_p, to to praktycznie jedyne takie ciało z p elementami (inne można połączyć z tym ciałem izomorfizmem)

Milo: Tak, miałem zespolone Dziękuję wam bardzo ^^