Dowód zagubiony: Dla niepustych i ograniczonych z góry zbiorów A,B ⊂ R wykazać, że sup(A+B)=supA+supB.

Blee: A jak mamy traktowac zbior (A+B)

zagubiony: Przepraszam, zapomniałem dopisać A+B={x+y: x∊A, y∊B}

kochanus_niepospolitus: niech: a = supA b = supB więc: ∀_x∊A x≠a ⇒ a > x ∀_y∊B y≠b ⇒ b > y ⇔ ∀_x∊A ∀_y∊B x≠a ∧ y≠b ⇒ a + b > x + y z czego wynika: ∀_x∊A ∀_y∊B x+y ≠ a+b ⇒ a + b > x + y teraz: niech sup(A+B) = a₁ + b₁ ∀_x∊A ∀_y∊B x+y ≠ a₁ + b₁ ⇒ a₁ + b₁ > x+y stąd a₁ + b₁ = a + b więc: sup(A+B) = supA + supB

zagubiony: Hmm, a nie powinno być a≥x? i analogicznie b≥y?

kochanus_niepospolitus: nie ... bo mam warunek: x≠a ... a tylko dla x=a zajdzie a≥x

zagubiony: To w takim razie nie rozumiem tego warunku x≠a... Z definicji supremum powinno być przecież a≥x? Przecież np. supremum zbioru (−∞;5> jest liczba a=5, która jest większa LUB równa wszystkim pozostałym elementom zbioru. Dobrze kombinuję? Czy mógłby Pan/Pani mnie ew. poprawić?

Adamm: supremum zbioru to najmniejsza taka liczba że a≥x

Adamm: może być to liczba ∞

zagubiony: No właśnie, dlatego nie mogę zrozumieć powyższego rozwiązania...

Jerzy: Bo Adamm nie dodał, gdzie: a jesto graniczeniem górnym zbioru ( majorantą ) tego zbioru. Kresm górnym zbioru (−∞;5> jest : a = 5 ( najwiekszy element w zbiorze ) Kresem górnym zbioru (−∞;5) jest : a = 5 (majoranta − najmniejsze górne ograniczenie )

zagubiony: Rozumiem. @Jerzy, czy powyższy dowód jest poprawny? Czy mógłby Pan zaproponować ew. inną metodę/sposób?