Dowód indukcyjny z sinusem Wadim: Dzień dobry. Mam takie zadanie: Udowodnić, że dla dowolnego n∊ℕ oraz x∊ℛ zachodzi nierówność |sin nx| ≤ n|sin x|. Póki co mam tyle: S={n∊ℕ, x∊ℛ: |sin nx| ≤ n|sin x|} 1. Dla n=1 mamy: |sin 1*x| ≤ 1*|sin x| → |sin x| ≤ |sin x| → 1∊S 2. Niech k∊ℕ ⋀ |sin kx| ≤ k|sin x| |sin (k+1)x| ≤ (k+1)|sin x| → |sin (k+1)x| ≤ k|sin x| + |sin x| P=k|sin x| + |sin x| ≥ |sin kx| + |sin x| |sin kx| + |sin x| ≥ |sin (k+1)x| Nie wiem co dalej. Przypuszczam, że jest jakaś własność sinusów, której ja nie znam, a z której należy tu skorzystać.

kochanus_niepospolitus: |sin(k+1)x| = |sinkxcosx + sinxcoskx| ≤ |sinkx*1 + sinx*1| = |sinkx + sinx| ≤ ≤ |sinkx| + |sinx| ≤ // z (2) // ≤ k|sinx| + |sinx| = (k+1)|sinx| c.n.w.

kochanus_niepospolitus: wystarczyły wzory: sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa |a+b| ≤ |a| + |b|

Wadim: Dzięki.