wielomian 1jsyc: Dla jakich wartości parametru m równanie x⁵ + (1 − 2m )x³ + (m² − 1)x = 0 ma dokładnie trzy pierwiastki? znalazłam na forum gotowe, rozwiązane zadanie, ale nic z tego nie rozumie, więc prosiłabym o rozpisanie,ale rpzede wszytskim wytłumaczenie:( Wiem, że zapisujemy równanie w postaci x (x⁴ + (1− 2m )x² + (m² − 1)) = 0 co oznacza, że x=0 (pierwszy pierwiastek, na początku) ale co dalej?

Jerzy: To oznacza,że drugie równanie ma dokładnie dwa ( obydwa różne od 0) Aby drugie miało dokładnie dwa różne od zera, to: Podstawiamy: x² = t i równanie: t² + (1 − 2m)t + (m² − 1), 1) albo ma jeden dodatni, 2) albo ma dwa przeciwnych znaków.

kochanus_niepospolitus: i co dalej ... równanie: x⁴ + (1− 2m )x² + (m² − 1) = 0 ma potencjalnie 4 (różne) rozwiązania ... a my chcemy aby miały DOKŁADNIE 2. podstawienie: t = x² ; t>0 1) chcemy tutaj tylko jedno rozwiązanie (aby oryginalne równania miał rozwiązania: x=0 ; x = −√t₁ ; x = √t₁) t² + (1− 2m )t + (m² − 1) = 0 Δ_t = 0 (aby tutaj było tylko jedno rozwiązanie )

	5
(1−2m)2 − 4(m2−1) = 0 ⇔ 1 − 4m + 4m2 − 4m2 + 4 = 0 ⇔ m =
	4

2) chcemy tutaj dwa rozwiązania (ale jedno z nich to musi być t=0)

	c
Wzory viete'a: t1*t2 =		=0 −> m2 = 1 −> m = +/− 1
	a

Δ_t > 0 czyli m < 5/4 ... oba spełniają

kochanus_niepospolitus: ach ... zapomniałem o tym co Jerzy napisał

1jsyc: @kochanus_niepolus to ile ma potencjalnych rozwiązań wiemy z tego, że jest x⁴ = pierwsze rozwiązanie, 1−2m=drugie, m²−1=trzecie i czwarte? Wybaczcie takie głupie pytania, ale próbuję samemu ogarnąć rozszerzoną matmę i nie bardzo wiem co z czego się bierze :x

1jsyc: I Jerzy, skąd wiem, że albo ma jeden dodatni, albo ma dwa przeciwnych znaków? Stąd, że jest 1−2m i m²−1?

Jerzy: Jeśli: t₁ > 0 i t₂ < 0 , to mamy: x₁ = √t₁ i x₂ = −√t₁ x² = t₂ < 0 ( brak rozwiazań )

Jerzy: Jeśli jeden dodatni .... patrz pierwsza linijka wyżej.

kochanus_niepospolitus: 1jsyc maksymalna liczba (potencjalnych) rozwiązań wynika ze stopnia najwyżej potęgi w równaniu, np.: x¹⁰⁰³ − 1 = 0 posiada 'potencjalnie' 1003 rozwiązania

kochanus_niepospolitus: Jerzy ... pamiętaj też że może być t₁ > 0 i t₂ = 0

Jerzy: Tak , może być układ 14:50

kochanus_niepospolitus: Więc w sumie mamy takie możliwości (już po podstawieniu): 1)

	−b
Δ = 0 i t1 > 0 (czyli		> 0)
	2a

2) Δ > 0 i t₁*t₂ < 0 3) Δ > 0 i t₁*t₂ =0 i t₁+t₂ > 0

1jsyc: To, że drugie równanie ma różne od zera pierwiastki bierze się stąd, że x=0 na początku, tak? I taka zasada działa w każdy równaniu?

Jerzy: Tak , skoro x = 0 jest już pierwiastkiem, to jeśli nawias bedzie miał jedn pierwiastek równy 0, to całe równanie wyjściowe będzie miało tylko dwa , a ma mieć trzy.

kochanus_niepospolitus: masz równanie: x⁵ + (1 − 2m )x³ + (m² − 1)x = 0 które ma mieć DOKŁADNIE 3 pierwiastki. Pierwszy już masz x=0 Więc równanie: x⁴ + (1− 2m )x² + (m² − 1) = 0 musi mieć: a) dwa RÓŻNE (i różne od 0) rozwiązania bądź b) trzy RÓŻNE rozwiązania w tym jedno to x=0 robisz podstawienie: t = x² ; t>0 i otrzymujesz takie równanie: t² + (1− 2m )t + (m² − 1) = 0 i teraz, żeby wcześniejsze (przed podstawieniem) równanie miało (a) dwa RÓŻNE rozwiązania musi zajść: a1) Δ_t = 0 i t₁ > 0 a2) Δ_t > 0 i t₁*t₂ < 0 (czyli pierwiastki są dwóch różnych znaków) a żeby miało (b) trzy RÓŻNE rozwiązania w tym jedno to x=0 to zajść musi: b1) Δ_t > 0 i t₁*t₂ = 0 i t₁+t₂>0 (czyli dwa pierwiastki, jeden =0, drugi dodatni)

1jsyc: Rozumiem. A jeszcze jedni pytanie co do tego przykładu, przy wzorachViete'a czemu t musi być równe 0? Rozumie, że c/a = m²−1, ale nie bardzo wiem co tam robi to zero

Jerzy: A gdzie jest napisane t = 0 ?

1jsyc: Ojć, nie widziałem odpowiedzi kochanus_niepospolitus, wieeelkie dzięki za rozpisanie

1jsyc: tutaj: "2) chcemy tutaj dwa rozwiązania (ale jedno z nich to musi być t=0)" ale już rozumiem

1jsyc: A co w przypadku kiedy to równanie ma mieć tylko jeden pierwiastek? Bo skoro na początku wychodzi x=1 to znaczy, ze w tym drugi równaniu wszystkie pierwiastki też mają wynosić zero? o.0

Jerzy: Które równanie ma mieć tylko jeden pierwiastek ?

kochanus_niepospolitus: jeżeli wyjściowe miałoby mieć tylko jedno rozwiązanie to: 1) Δ_t < 0 (brak rozwiązań) 2) Δ_t ≥ 0 i t₁*t₂ = 0 i t₁ + t₂ ≤ 0 (jedno z rozwiązań jest t=0 ; a drugiego brak lub jest to liczba nie większa od 0) 3) Δ_t > 0 i t₁*t₂ > 0 i t₁ + t₂ < 0 (oba rozwiązania ujemne) 4) Δ_t = 0 i t₁ < 0 (jedno rozwiązanie, ujemne)

kochanus_niepospolitus: takie przypadki wtedy by trzeba było rozpatrzeć

1jsyc: Okej, dziękuję bardzo za pomoc