Liczby rzeczywiste - dowody ~Blue~: Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba x=n⁵−5n³+4n−120 jest podzielna przez 30. Rozłożyłam liczbę x na dwa wielomiany, ale nie co dalej x=(n−3)(n⁴+3n³+4n²+12n+40)

bluee: Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, dla których n²+1 jest podzielne przez 13.

Jerzy: x = n(n⁴ − 5n² + 4) − 120 = (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) − 120 ..... i wnioski.

bluee: Aby liczb była podzielna przez 30, musi być podzielna przez 6 i przez 5, czyli musi być podzielna przez 2,3 i 5.

bluee: Podzielność przez 2 widzę, ale podzielność przez 3 i 5

nocnaćma: mamy iloczyn 5 kolejnych liczb calkowityc wiec ta liczba jest podzielna przez 5 Wsrod trzech kolejmych liczb calkowitych conajmiej dwie sa podzielne przez2 i jedna przez 3 Wiec liczba ta jest podzielna przez 6 Stad wnioskuje ze liczba postaci x= n⁵−5n³+4n−120 jest podzielna przez 30. Dobrze to bedzie ? Drugi nie wiem .

bluee: Dobrze to bedzie ? Fenomenalnie

bluee: Ale co do drugiego to kicha

Jerzy: Tak , pierwszy człon jest podzielny przez 5 i 6 , a więc przez 30 , no a 120 .....oczywiście .

bluee: Mam jeszcze takie cudo: 3.Wykaż, że reszta z dzielnie liczby x=43¹³−17¹⁷ przez 10 jest równa 6. Liczby 43 i 17 są pierwsze, więc nie ma czego wyciągnąć przed nawias. ORAZ 4. Wykaż, że liczba 36000 ma 72 dzielniki.

Jerzy: n = 13x + 5 − liczba naturalna n² + 1 = (13x + 5)² = 169x² + 130x + 25 + 1

Jerzy: 3) Trzeba przeanalizować ostatnie cyfry potęg liczb 43 i 17

bluee: Dlaczego za podstawiłeś 13x+5?

bluee: *za n

Jerzy: 4) 36000 = 2⁵*3²*5³ Ilość dzielników = (5 +1)*(2 +1)*(3 +1) = 6*3*4 = 72

Jerzy: żeby odróżnić od n , x jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią zapis: n = 13*n + 5 byłby nieco mylący.

bluee: Chwila, nie wszystko na raz Chodzi o zadanie 2. dlaczego za n podstawiłeś 13x+5 Potem w drugiej linijce pominąłeś +1?

Jerzy: W drugiej linijce niechcący " zjadłem" jedynkę: n² + 1 = (13x +5)² + 1 = 169x² + 130 + 25 + 1

bluee: Ok. Ale dlaczego 13 +5

Jerzy: Bo wtedy liczba (13x+ 5)² będzie podzielna przez 13.

Eta: 4/ Każdą liczbę naturalną można zapisać jako iloczyn potęg liczb pierwszych o wykładnikach naturalnych L=p₁^k*p₂^w*p₃^m *.... *p_n^t liczba dzielników d= (k+1)(w+1)*(m+1) *...*(t+1) 36000=2⁵*3²*5³ liczba dzielników : d=(5+1)*(2+1)*(3+1)=72 c.n.w

bluee: n2 + 1 = (13x +5)2 + 1 = 169x² + 130 + 25 + 1 Czy przypadkiem tutaj, przy współczynniku 130 nie brakuje x?

Jerzy: Brakuje (literówka )

Jerzy: O 11:27 było 130x

bluee: Haha Niby wszystko się zgadza, ale nie do końca wiem skąd wytrzasnąłeś to 13x+5.

Jerzy: Mogłem wybrać dowolnie, więc wybrałem tak

bluee: Etna: Czy wspomniana przez Ciebie zależność ma jakieś "fachowe" określenie?

Eta: "Etna " to wulkan na Sycylii Eta = η −−litera greckiego alfabetu

bluee: A co do zad. 3 to wyszło mi, że na końcu liczby 43¹³ będzie 9, a na końcu liczby 17¹⁷ to samo. Dobrze?

nocnaćma: bluee Etna to wulkan a nie chcialabys by Pani Eta taka byla

bluee: Nie zrozumiałaś mnie mnie, wiem że Etna to wulkan, chodzi mi o to czy zależność matematyczna: "Każdą liczbę naturalną można zapisać jako iloczyn potęg liczb pierwszych o wykładnikach naturalnych L=p1k*p2w*p3m *.... *pnt liczba dzielników d= (k+1)(w+1)*(m+1) *...*(t+1)" ma jakąś fachową nazwę? Np. twierdzenie o ...

bluee: Czy w zad. 3 nie powinno mi wyjść 0 i 6?

bluee: Znalazłam: Podstawowe twierdzenie arytmetyki

Eta: I od razu pojaśniałaś (jasno niebieskim kolorem)

bluee: No to wie ktoś co z tym 3 zadaniem ...

nocnaćma: 43¹ ostania cyfra 3 43²====9 43³−−−−−−−−−−−7 43⁴ 1 43⁵ 3 43⁶ −−−−−−−9 43⁷−−−−−−−−7 Widzisz juz cos ?

bluee: O tym już pisałam: dla 43¹3 ostatnia cyfra to 4, a dla 17⁵ −9. Ale co mam z tym zrobić dalej?

bluee: *17⁵=17¹⁷ błąd

nocnaćma: Popraw dla 43¹³ ostania cyfra to 3 popraw dla 17¹⁷ nie bedzie ani 5 ani 9

bluee: dla 43 jest to 1, a dla 17 7

bluee: Ale nie do końca wiem co zrobić z tym dalej.

nocnaćma: napisalem przeciez ze 3 popatrz na moj post a 12 : 24 Zobacz e 0d potegi 5 powtarza sie ostania cyfra 3 Skoro 43⁴ koczy sie cyfra 1 to tak samo 43⁸ konczy sie jedynka i tak samo 43¹² skonczy sie jednka wiec 43¹³ skonczy sie 3 na koncu (masz sekwencja co 4 wiec 13−7=6 a 6 jest podzielne przez6

Jerzy: Wynik przy dzieleniu przez 10, daje resztę 6 ( o to pytają )

5-latek: czesc A kto im zabroni o to pytac ? Maja prawo

bluee: Omsknęły mi się klawisze ja też miałam dla 43 końcówkę 3, a dla 17 końcówkę 7. W ostatniej linijce tekstu jak dobrze zrozumiałam odejmujesz 13 −7. 13 to potega liczby 43, a 7 to ostania cyfra potęgi 17. Co to ma niby ze sobą współnego. Rozumiałabym gdybyś odejmował 7−3. Ale 13−7

Jerzy: Ostatnie dwie cyfry potęgi 43 , to ....X3 , a ostatnie potęgi 17 , to ......Y7 Przy odjmowaniu w wyniku dostaniesz liczbę o końcowych cyfrach.... Z6 , tak liczba dzielona przez 10 taje zawsze resztę 6.

bluee: DZIĘKI

Mariusz: n⁵−5n³+4n−120 dla n=0 30|−120 Założenie dla n=k 30|k⁵−5k³+4k−120 Teza n=k+1 (k+1)⁵−5(k+1)³+4(k+1)−120 k⁵+5k⁴+10k³+10k²+5k+1−5k³−15k²−15k−5+4k+4−120 k⁵+5k⁴+5k³−5k²−6k−120=k⁵−5k³+4k−120+(5k⁴+10k³−5k²−10k) (k⁵−5k³+4k−120)+5(k⁴+2k³−k²−2k) Jak ktoś lubi indukcję to można iść dalej i wykazać że 6|k⁴+2k³−k²−2k Potem jeszcze sprawdzić dla ujemnych