Ciągi Michał: Zbadaj czy podany ciąg jest ograniczony z dołu, z góry lub jest ograniczony:

	1		1		1
dn =		+		+ ... +
	41 + 1		42 + 2		4n + n

Zbadaj czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:

	5 * 7 * ... * (3 + 2n)
en =
	4 * 7 * ... * (1 + 3n)

Za pomoc z góry dziękuję.

kochanus_niepospolitus: d_n −−− ciąg jest zbieżny, więc jest ograniczony e_n −−− ciąg jest zbieżny, więc jest ograniczony

kochanus_niepospolitus:

	3
dn −−− ciąg rosnący −> d1 ≤ dn ≤ g <
	8

	2
en −−− ciąg malejący −> e1 = e2 ≥ en ≥ g >
	3

Michał:

	1		1
dn jest ograniczony z dołu przez m =		, a ograniczenie z góry wynosi M =		. Jak
	5		3

mam wykazać M? e_n −−> czy mógłbym prosić o pomoc i wyjaśnienie krok po kroku wraz z wypisaniem góry i dołu? Bardzo dziękuję za włożoną pracę i przepraszam za kłopot.

Michał:

	1		1
dn jest ograniczony z dołu przez m =		, a ograniczenie z góry wynosi M =		. Jak
	5		3

mam wykazać M? e_n −−> czy mógłbym prosić o pomoc i wyjaśnienie krok po kroku jak obliczyć w tym wypadku monotoniczność? Bardzo dziękuję za włożoną pracę i przepraszam za kłopot.

Michał:

	1		1
dn jest ograniczony z dołu przez m =		, a ograniczenie z góry wynosi M =		. Jak
	5		3

mam wykazać M? e_n −−> czy mógłbym prosić o pomoc i wyjaśnienie krok po kroku jak obliczyć w tym wypadku monotoniczność? Bardzo dziękuję za włożoną pracę i przepraszam za kłopot.

kochanus_niepospolitus: co do d_n ... OBLICZ GRANICĘ co do e_n najpierw sprawdzamy monotoniczność ciągu: więc liczymy:

en+1
	=
en

	5*7*...*(3+2n)*(5+2n)   4*7*...*(1+3n)*(4+3n)
=		=
	5*7*...*(3+2n)   4*7*...*(1+3n)

	5+2n		4+3n + 1−n		1−n
=		=		= 1 +		< 1 (dla n>1)
	4+3n		4+3n		4+3n

w takim razie, dla n≥2 ten ciąg jest MALEJĄCY. I tyle miałeś zrobić

kochanus_niepospolitus:

	2
PS. oczywiscie en jest malejący i −> g = 0 a nie jak napisałem >
	3

Michał: Nie wiem jak policzyć granicę z ciągu, który jest w taki sposób opisany. Co do e_n −> Gdy mamy przypadek e_n+1 wtedy dopisujemy po prostu kolejny wyraz ciągu?

	7*9*...*(2n+5)
Próbowałem robić to zapisując en+1 jako		, jednak nic z
	7*10*...*(3n+4)

tego nie wychodziło. Czy była to poprawna metoda? Ostatnia prośba − Jak obliczyć monotoniczność dla takiego ciągu: f_n = ³√n³ + 2 − n

kochanus_niepospolitus: zauważ, że:

	5		9
en ≤		* (		)n−2
	4		10

	5		9
limn−>∞		* (		)n−2 = 0
	4		10

kochanus_niepospolitus: co do f_n f_n = ³√n³ + 2 − n =

	3√n3 + 2 − n		(3√n3+2)2 +n*3√n3+2 +n2)
=		*		=
	1		(3√n3+2)2 +n*3√n3+2 +n2)

	n3 + 2 − n3
=		=
	(3√n3+2)2 +n*3√n3+2 +n2)

	2
=
	(3√n3+2)2 +n*3√n3+2 +n2)

z tej postaci łatwo zauważyć, że lim f_n = 0 ... a także, ze f_n jest ciągiem malejącym

Michał: Odnośnie f_n − jeśli da się zastosować wzór skróconego mnożenie dla drugiej lub trzeciej potęgi to wygląda to dobrze. Co jednak w wypadku, gdy mamy do czynienia z pierwiastkiem czwartego stopnia lub wyższego stopnia? Dalej nie rozumiem jak zrobić d_n. Mógłbym prosić o rozbicie tego? I oczywiście bardzo dziękuję za dotychczasową pomoc.