Wielomiany prostezad: Wielomiany, skąd więło się to 2m−1 przy stosowaniu wzorów Viete'a? Nie mogę tego rozpracować, co jest tym t1 i t2 Podaję treść zadania: dla jakich m równanie ma pięć pierwiastków? Zapisując równanie w postaci x (x⁴ + (1− 2m )x² + (m² − 1)) = 0 widzimy, że równanie ma zawsze pierwiastek x = 0 . Jeżeli podstawimy t = x 2 to pozostaje do zbadania równanie t² + (1 − 2m )t+ (m² − 1) = 0. Aby równanie miało pięć pierwiastków, powyższe równanie kwadratowe musi mieć dwa rozwiązania dodatnie (żeby równość 2 t = x dawała cztery różne x −y). Sprawdźmy na początek kiedy to równanie ma dwa rozwiązania 0 < Δ = (1 − 2m )² − 4(m² − 1) = 1 − 4m + 4m²− 4m² + 4 = − 4m + 5 4m < 5 ⇒ m < 5/4 Na mocy wzorów Viète’a, rozwiązania będą dodatnie, gdy 0 < t1 + t2 = 2m − 1 ⇒ 1/2< m 0 < t1t2 = m − 1 ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ (1,+ ∞ ). Uwzględniając wszystkie warunki mamy m ∈ (1;5/4)

Jerzy: Ze wzorów Viete'a:

	− b		−(1 − 2m)
t1 + t2 =		=		= 2m − 1
	a		1

prostezad: Rozumiem, wielkie dzięki za rozpisanie, bo jakoś nie mogłam tego ogarnąć. Jeszcze poprosiłabym o wytłumaczenie innego zadania: mx² − (2m + 1)x + (2 − 3m ) = 0. Pytanie z treści zadania sprowadza się do pytania kiedy powyższe równanie kwadratowe ma pierwiastki o dodatniej sumie? Jezeli równanie jest liniowe, czyli m = 0 , to mamy −x + 2 = 0 ⇒ x = 2 Jezeli mamy równanie kwadratowe, to sprawdźmy kiedy ma ono pierwiastki 0 ≤ Δ = (2m + 1) − 4m (2 − 3m ) = = 4m² + 4m + 1 − 8m + 12m² = 1 6m² − 4m + 1 Δ = 16− 64 < 0. Równanie ma więc zawsze dwa pierwiastki. Kiedy ich suma jest dodatnia? – na mocy wzorów Viète’a ich suma jest równa 0<2m + 1 /m <−−−−−−−−−−−−−−−−− skąd się to wzieło skoro ten wzór stosuje się kiedy delta jest większa/równa zero, a w poprzedniej linijce wyszło, że jest mniejsza?

Jerzy: Tam jest policzona "delta z delty" Δ = 16m² − 4m + 1 Δ' = (−4)² − 4*1*16 = 16 − 64 < 0

Jerzy: No i ... skoro: Δ' < 0 , to wtedy delta "główna" > 0 dla dowolnego m.

5-latek: jewsloi rownanie jest liniowe to nie ma pierwiastkow o dodatniej sumie wiec nie ma potrzeby rozpatrywanie tego przypadku

prostezad: Już rozumiem, bardzo Wam dziękuję