ciąg alfa:

	xn2
Niech 0<x1<1 oraz xn+1=xn+		. Jak wykazć że ciag (xn) jest monotoniczny i
	n(n+1)

ograniczony. To jest zadanie z wykaznia zbiezności tego tego ciągu. Ktoś moze wytłamaczyc na tym przykładzie bo mam takie podobne jeszcze kilka.

Adamm:

	xn2		1
0<xn+1−xn=		<
	n(n+1)		n(n+1)

rozpatrzmy taki szereg (x₂−x₁)+(x₃−x₂)+... jest on oczywiście o wyrazach dodatnich, i jest on zbieżny z kryterium porównawczego S_n=x_n+1−x₁, skoro zbieżny jest ciąg S_n, to również S_n+x₁ a zatem i x_n+1 (czyli x_n)

Adamm: albo po prostu rozpatrzmy szereg x₁+(x₂−x₁)+(x₃−x₂)+... i od razu n−ta suma częściowa to x_n

Adamm: mam błąd, możesz nawet nie czytać

alfa: ok, wiec moja prosba aktualna

mat: Wystarczy pokazać, że {x_n} to ciąg Cauchy'ego (więc zbiezny → ograniczony) Ustalmy dowolne n, m ∊ N (niech m>n, powiedzmy m =n +k)

	xn+k−12
Wtedy xm=xn+k=xn+k−1+		<...
	(n+k−1)(n+k)

	1		1		1
<xn+		+		+..+
	(n+k−1)(n+k)		(n+k−2)(n+k−1)		(n)(n+1)

1

1

1

1

1

1

=xn+

−

+

−

....+

−

n+k−1

n+k

n+k−2

n+k−1

n

n+1

	1		1
=xn+		−
	n		n+k

	1		1
czyli |xn+k−xn|≤		−
	n		n+k

a to juz wsytarczy

mat: trzeba poprawić to oszaocwanie, bo bezpodstawnie sobie założylem ze x_n+k−1²<1

alfa: A jak to wykazać

Adamm: x_n² nie jest mniejszy od 1 podstaw sobie np. x₁=0,9 to masz x₂>1 i skoro ciąg jest rosnący to x_n>1 dla n≥2

mat: tak tak, to wlasnie napisalem wyzej!

Adamm: tak, tylko myślałem że alfa nie zrozumiał, dlatego napisał to co w 19:21