Dowód.
matfiziak: Witam wszystkich na forum.
Udowodnij, że |x−y|n≤|xn−yn| gdy x,y≥0.
6 paź 21:49
Adamm: gdy y=0, nierówność jest oczywista
zakładamy y>0
|x/y−1|n≤|(x/y)n−1|
t=x/y
|t−1|n≤|tn−1|
oczywiście dla t=1 nierówność spełniona
jeśli t<1 to nierówność jest równoważna |1/t−1|n≤|(1/t)n−1|
czyli wystarczy że udowodnimy ją dla t>1, podstawmy u=t−1>0
un+1≤(u+1)n=un+nun−1+...+1
nierówność oczywiście prawdziwa (jako że u>0)
6 paź 22:07
matfiziak: Dziękuję!
6 paź 22:14
Maciek: kwadratujemy obustronnie:
(xn−yn)2≥(x−y)2n
6 paź 23:06