Rozwiąż logarytm Michał: Hej mam prośbę, potrzbeuje pomocy z kilkoma logarytmami: 1 2log₄ x − log₄ (x+2)>1 założenie x>0 x>−2 log₄ x²− log₄(x+2)>1

	x2
log4		>1
	x+2

	x2
log4		>log4 4
	x+2

x2
	>4 // Nie do konca pamietam czy dobrze robię i czy tak wolno chodzi o to że teraz
x+2

zrobię taki myk że przemnożę to razy mianownik, ale chyba tak nie wolno co? Dobrze mysle? musze chyba 4 na druga strone ta samam podstawa i wyliczam a na koncu rysuje wykres nanosze na niego wynik + założenia zaznaczam część współną i to jest opd? Gdy robie to tak jak ja to wychodzi x²−4x−8>0 x₁=2+2√3 x₂=2−2√3 //Po narysowaniu na wykresie to odp prawidłowa ale jakoś mam przeczucie ze nie pownienem byl mnozyc razy mianownik... 2 log³₂x−4log₂ x≥0 // podstawie za log₂ x= t t³−4t≥0 t(t²−4)≥0 t(t−2)(t+2)≥0 // I teraz nie do konca wiem czy dobrze mysle i czy dobrze pamietam poniewaz t jest to potęgi 1 w kazdym przypadku to wykres będzie przechodził przez oś x w każdym pierwiastku? (czyt. {−2}{0}{2}) Hmn i pytanie skad mam wiedziec czy zaczac od góryu czy od dołu rysowanie? Bo wiem ze patrzy się na to co stoi przed największą potęga + czy − chyba... A co jak potęgi są równoważne? bo według moich rozkim powinno to wygladac tak: rys 1 potem log₂x≤−2 i log ₂x≤0 i log₂x≥2 I co teraz mam zrobic z tej −2 log o podstawie 2 a potem go opuscic? log₂x≤log₂ ¹₄ x≤¹₄ //nie zmieniam znaku bo podstawa jest większa od 1? Anagloicznie w innych przypadakach? 3. log_x 4<1 założenie x>0 x≠1 A to jak mam zrobic rozpatrzyc to na 2 przypadki? jako ze x w zakresie od (0:1) i od (1:+∞)? log_x4<1 log_x4<log_xx 4>x //bo zakładam ze od (0:1) czyli zmieniam znak... druga opcja taka sama tylko ze bez zmiany znaku wychodzi wtedy 4<x i co z tym? Wrzucam jeden i drugi przypadek na ośke i mam zaznaczyc punkty wspolne? No to na tyle, póki co Gdyby ktoś znazł czas żęby mi pomóc, jak widać problem nie tkwi tak bardzo w logarytmach ale w moich brakach pamieciowcyh starałem się przypomniec sobie zasady chocby rysowania wykresów w przypadku gdy funkcja ma wiecej niz 2 pierwiastki, ale no cóż nie do konca to mi wyszło tak jak chciałem więc prośba jakbyście mogli mi to tak zobarzować zebym mogl sobie przypomniec jak to działa będę wdzięczny

Mila: D: x>0 1) miałeś założenie, że x>0, zatem mogłeś tak pomnożyć, jeżeli masz wątpliwości , to mnożymy przez (x+2)² wtedy:

x2
	>4 /*(x+2)2⇔
x+2

x²*(x+2)>4*(x+2)²⇔ x²*(x+2)−4*(x+2)²>0 (x+2)*[x²−4(x+2)]>0 (x+2)*(x²−4x−8)>0 Δ=16+32=48 √48=4√3

	4−4√3		4+4√3
x=		lub x=
	2		2

x₁=2−2√3 lub x₂=2+2√3 x∊(2+2√3,∞)

Mila: 2) D=(0,∞) log₂(x)=t t³−4t≥0 t*(t²−4)≥0 t*(t−2)*(t+2)≥0 t∊<−2,0>∪<2,∞)⇔ −2≤log₂(x)≤0 lub log₂≥2 log₂(2⁻²)≤log₂(x)≤log₂(1) lub log₂(x)≥log₂(2²) log₂(x) to funkcja rosnąca

1
	≤x≤1 lub x>4
4

Michał: Dobrze, postaram się zapamietac tym razem na trwale że jak mam x>0 to mogę w przypadku nierówności pomnożyć przez mianownik, choć bezpieczniej jest po prostu pomnożyć przez mianownik ² Zarejestrowane =) A pytanie głupie do wykresu czemu wykres rysujemy od dołu a nie od góry :X?

Mila: Michał, ja zawsze zaczynam rysowanie od prawej strony osi : Przykłady: 1) (x−1)*(x+2)*(x−3)>0 jeżeli wymnożysz to przy (x³ +... ) masz wsp. 1, czyli większy od zera. Zaczynasz od góry. rys1 2) (−x+1)*(x−2)*(x−3)>0 po wymnożeniu masz : (−x³+...) przy x³ masz znak (−1) zaczynasz od dołu jeśli podstawisz liczbę większą od 3, np . x=10 to masz (−10+1)*(10−2)*(10−3)=−9*8*7<0

Mila: 3) log_x 4<1, x>0 i x≠1 1) x∊(0,1) wtedy masz z lewej funkcję malejącą⇔ log_x4<log_x(x) 4>x i x∊(0,1) ⇔x∊(0,1) 2) x>1 log_x4<log_x(x)⇔ 4<x x>4 Odp. x∊(0,1)∪(4,∞)

Michał: Ok dziękuje Milo za Twoje wytłumaczenie, już wszystko czaje =) Mam pytanie odnośnie dziedziny np. log₄x²−log₄(6−x²)... x>0 6−x²>0 z tego drugiego mamy zakres (−√6:√6) Co jest moja dziedzina wszystko od (−√6:∞)? Czy moze dziedzina to od 0 do √6?

5-latek: To jest wykres y=x² Kiedy jest >0 ?

Michał: no to jest zbiór liczb rzeczywistych oprócz 0

5-latek: No to teraz wyznacz dziedzine

Michał: dla 6−x²>0 idąc Twoim tokiem rozumowania... −x²>−6 x²<6 czyli x∊(−∞:6)

Michał: druga dziedzina jest x>0 czyli cześć wspólna to x∊(0;6)

5-latek: 6−x²>= to x∊(−p[6},√6 ) dalej w nastepnym poscie

5-latek: mamy x∊R\{0} i x∊(−√6,√6) wyznacz czesc wspolna

5-latek: 6−x²>0 mialo byc

Michał: −√6:0 i 0:√6 Juz zajazyłem dzieki To idąc za ciosem robię takie zadanie log₄ x²−log₄ (6−x²) >= ¹₂

	x2
log4		>= log4 2
	6−x2

x2
	>= 2 /*(6−x2)
6−x2

x²(6−x²)−2(6−x²)>=0 6x²−x⁴−12+2x²>=0 −x⁴+8x²−12>=0 t=x² −t²+8t−12 >=0 Δ=64−48=16

	−8−4
t1 =		=6
	−2

t₂ =2 t∊ <2;6> x²∊ <2;6> x²>=2 x²−2>=0 Δ=8 x₁=−√2 x₂=√2 x²<=6 x²−6>=0 Δ=24 x₁=−√6 x₂=√6 D: (−√6:√6) / {0} Rysuje wykres dla tej drugiej i zaznaczam część wspólną dla nich (patrz rys) i to jest opd na zadanie, dla przypadku drugiego jest brak częsci wspólnej Zadanie źle zrobione bo prawidłowa odp x ∊ (−√6:2> ∪ <2:√6)

Mila: x²>0 i 6−x²>0 x∊R\{0} i (√6−x)*(√6−x)>0 parabola skierowana w dół x∊(−√6,0)∪(0,√6)

Michał: Czemu ?

Mila: Ma być: (√6−x)*(√6+x)

Mila: Co?

Michał: Nie Milo nie do Ciebie to odnośnie postu wyżej nad Twoim o 21:24 czemu odp prawidłowa jest taka a nie inna?

iteRacja : witaj Milu czy nie powinno być (√6−x)*(√6+x)>0

Michał: Jezeli chodzi o dziedzinę rozumiem już, jak to działa przepraszam ale potrzebowałem czasu zeby to załapać już wszystko jak w zegarku

Mila: iteRacjo, tak, masz rację ( nomen omen) . Miałam pomyłkę w pisaniu, poprawiłam 21:25. Michał tak, łatwiej:

	1
log4 x2−log4 (6−x2) ≥
	2

	1
log4 x2≥log4 (6−x2) +		⇔
	2

log₄ x²≥log₄ (6−x²) +log₄(4^1/2) [ 4^1/2=√4=2] log₄ x²≥log₄ [(6−x²) *√2] x²≥2*(6−x²) x²≥12−2x² 3x²−12≥0 /:3 x²−4≥0 ⇔ (x−2)*(x+2)≥0 parabola w górę [x<−2 lub x>2]⋀x∊D⇔ x∊(−√6,−2)∪(2,√6)

Mila: znowu lapsus , zamiast √2 ma być √4 w ósmej od dołu.

Michał: Hmn masz rację dużo prościej :X Dzięki wielkie, bardzo mi pomogłaś, choć jak byś mogła mi powiedzieć w którym momenecie ja zrobiłem błąd na goże bede wdzieczny Wiesz chciałbym wiedzieć czy po prostu nie umiem mnożyc, czy tez chodzi o brak wiedzy tak jak było z tym x²>0.... (Ale mi wsytd za to że nie zajarzyłem od razu)

Mila: Analizuj nasze wpisy, nie wiem na który Twój wpis popatrzeć. Wstydzić się nie ma czego, uczysz się i to najważniejsze. W której klasie jesteś?

Michał: Wpis 21:24 ten który tak ładnie rozpisałes o 21:46 ten gdzie mi zamiast 2 wychodzi √2, a jestem w 4−tej Technikuem (matura ) Co do analizy, to masz rację zaraz do niego na nowo przysiądę na świeżo, tylko skończe robić inny przykład

Mila: Tak, myślałam, że jesteś w technikum. Pracuj, a będzie dobrze.

Michał: Ok analiza udana, dostrzegam błąd gdyż ponieważ, jak by kogoś kiedyś interesowało tam na górze mnożąc *(6−x²) powinno być *(6−x²)² i teraz będzie śmigać tam się skróci jak napisałem i trzeba 2 przemnożyć razy tą wartośc do kwadratu wszystko na drugą stronę połączyć i wyliczyć wychodzi. Dzięki jeszcze raz Milo za pomoc, 5−latku Tobie też dziękuję i życzę udanej nocki, dobranoc!

Mila: Dobranoc

5-latek: Dobranoc