Równania logarytmiczne Michał: Rozwiąz równanie: Hej ma drobny problem, z równaniami logarytmicznymi, jakby ktoś miał czas zerknąc i wyłumaczyć gdzie jest błąd będę wdzięczny ok... to tak... 1 Rozwiąż równanie: a)log_x |x−1|=0 tak to robię założęnie : |x−1|>0 x−1>0 v −x+1>0 x>1 v x<1 // ok to jest chyba źle jak mam zrobić założenie do tej wartości bezwzględnej Samo równanie ... |x−1|=1 x−1=1 v x−1=−1 x=2 v x = 0 //Prawidłowa odp. to 2 więc pewnie coś pochrzaniłem w dziedzinie... b)log_(x−1) (3x−5) = 2 dziedzina + założenie: 3x−5>0 x−1>0 ⇒ x>1 3x>5 x−1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0 x>5/3 Równanie: 3x−5=(x−1)² 3x−5=x²−2x+1 0=x²−5x+6 Δ=1

	5−1
x1=		=2
	2

	5+1
x2=		=3 //Prawdiłowa odp to 3, ale czemu według mojej dziedziny i założenia prawidłowe
	2

jest i 2 i 3 c) log (¹₂x+x²)=¹₂log_√10 (x−x²) // eh to chyba po prostu nie umiem policzyć log(¹₂x+x²)=log(x−x²)

	12x+x2
log(		=0
	x−x2

¹₂x+x²=x−x² −¹₂x+2x²=0 // no iteraz Δ tyle ze jest ujemna... trochę słabo bo odp to ¹₄ d)log₂ x+ 2√log₂ x = 8 założenie x>0 log₂ x≥0 x≥1 A jak się zabrac do równania? Mysalem nad tym zeby z pierwiastka zrobić potęge ¹₂ i wtedy cały log do tej potęgi i chciałem go wyrzucić przed nawias wtedy, aby skrócił się z dwójką, ale ta operacja jest niedozwolona.... więc nie za bardzo mam pomysł co mógłbym zrobić e) log² x− log x² = 8 // Oki do tego nie mam pojęcia jak podejść ze względu że w pierwszym potęgę mamy przy log a w drugim przy x gdyby ta potęga była w tym samym miejscu to podstawiłbym "t" za log₂ x² i wyliczył... No ale, ale niestety nie jest tak pięknie. Oki to wszystko jak by co zadanka z którymi nie mogę sobie poradzić, proszę o korekty i wytłumaczenia, rozwiązania Bardzo dziękuje za poświecony mi tu czas.

Blee: W (a) nie zrobiles zalozen co do podstawy lodarytmu

Blee: (B) przeciez x−1≠ 1 to znaczy ze x rozne od 2

Blee: 2x² − 0.5x = x(2x −0.5) Wiec jakie beda rozwiazania A gdzie zalozenia?

Blee: W (d) robisz podstawienie: t = √log₂x

Blee: log x² = 2logx podstawienie: t = logx

Blee: I to by bylo na tyle. Do dzieła

yht: 1) a) x>1 v x<1 to jest akurat ok ale zabrakło Ci założenia dotyczącego podstawy logarytmu (podstawa logarytmu to czerwony x w log_x|x−1|) x > 0 i x≠1 te założenia spełnia tylko x=2, a x=0 nie spełnia, stąd w odpowiedzi tylko x=2 b) masz błąd w założeniu: x−1 ≠ 1, z tego wynika że x≠2 a nie jak napisałeś x≠0 dlatego x=2 które wyszło z delty nie spełnia warunków zadania c) delta ładna, dodatnia wychodzi 2x²−¹₂x=0 a=2, b=−¹₂, c=0 Δ = (−¹₂)²−4*2*0 = ¹₄ − 0 = ¹₄ → √Δ = ¹₂

	12−12
x1=		= 0
	4

	12+12		1
x2=		=
	4		4

d) skorzystaj z tego że log₂x = √log₂x*√log₂x − to nie jest żadna własność logarytmów − to działa na tej samej zasadzie co np. 6 = √6*√6 potem podstaw √log₂x = t, z założeniem t≥0 t*t+2t=8 t²+2t−8=0 delta... t₁=2 (spełnia założenie t≥0) t₂=−4 (nie spełnia) t = 2 → √log₂x = 2 log₂x = 4 x = 16 e) założenia: x>0 i x²>0 stąd x>0 log²−2log x = 8 log x = t t²−2t=8 t²−2t−8=0 delta...

Michał: Ok a) czaje faktycznie podstawa potrzebowała założenia x>0 z wartości bezw. miałem x<1 x>1 oba z tych załozeń od wartości bezwzlędnej brać pod uwagę? Jak chyba myślę... rozwiązaniem będzie ich część wspolna... b) zrobione masz rację. Po prostu jak widać nie umię dodawać... Sumowanie też może być bardzo trudne jak widać nawet na takim poziomie c) x(2x−¹₂=0 z tego x₁=0 i x₂=¹₄ Założenie (faktycznie zapomniałem napisać) ¹₂x+x²>0 x ∊(−∞:−¹₂ u 0;+∞) x−x²>0 x∊(0;1) Część wspólna tych dwóch założeń to x ∊ (0;1) czyli pasuje ¹₄ co jest odp. na punkt c d) dobra czyli mam tak wtedy... t²+2t−8=0 Δ=36 t₁=−4 t₂=2 log₂ x = −4 x = ¹₁₆ log₂ x = 2 x = 4 // To nie jest prawidłowa odp... coś przekombinowałem? e) log² x − log x²=8 t²−2t−8=0 t₁=−2 t₂=4 log x = −2 ⇒ x=¹₁₀₀ log x = 4 ⇒ x=1 * 10⁴ //załozenie x>0 wszystko się zgadza... W zyciu bym na to nie wpadł ze tak wolno czyli jak mam log² x i podstawiam log x=t to wtedy log² x= t²? Dobrze?

Michał: super yht dzięki wielkie, za mega solidne wytłumaczenie, wszystko czaje co tam ślicznie opisałeś, ten d mi się najbardizej podoba ^^ bo mój mózg chyba nigdy by tego nie zauważył że można to tak fajnie rozpisać, bardzo dziękuję za pomoc Tobie blee też dzięki za pomoc ^^ zanim yth odpisał zdążyłęm zastosowac się do Twoich rad i sam to zrobić choć nadal ciekawi mnie gdzie jest błąd w rozwiązaniu przykładu d przez ze mnie, jakbyście mogli panowie mi to wskazać abym mógł dokonać korekty będę wdzięczny

Michał: W sumie w międzyczasie, znazłem jeszcze jedne przykład z którym mam problem, jakbyście mogli doradzić przy okazji super by było

log(x+1)
	=1
log(2x−1)

załozęnie x+1>0 => x>−1 2x−1>0 => x>¹₂ 2x−1 ≠ 0 2x ≠ ¹₂ A jak zrobić przykład?

yht: d) musi być założenie t≥0 bo podstawiasz za pierwiastek który (z natury) jest nieujemny zatem t=−4 nie spełnia założenia (więc olewasz to całkowicie i piszesz sprzeczność) zaś dla t=2 dokonując podstawienia logarytmu zauważ, że nie logarytm, a pierwiastek z logarytmu jest równy 2

Eta: założenia .......... i jeszcze log(2x−1)≠0 ⇒ 2x−1≠1 ⇒............. log(x+1)=log(2x−1)⇒ x+1=2x−1⇒ .......... i uwzględnij założenia!

yht:

log(x+1)
	= 1 |*log(2x−1)
log(2x−1)

log(x+1) = log(2x−1) x+1 = 2x−1 ...

Eta:

yht: i takim osobom aż chce się pomagać a nie tak jak czasami ...... byle spisać i do przodu

Michał: To fajnie, cieszę się bo w sumie jak zadaje pytanie, zawsze mam taki dreszczyk winny na sobie, w głowie drąży mi myśl, zadajesz pytanie które na 99% ktoś już kiedyś zadał na internecie jak nie na polskich internetach to na pewno znajdziesz coś w anglo−języcznej częsci sieci tylko po prostu nie umiesz szukać (zawsze zanim wstawie pytanie robię research, ale rzadko odnosi on pozytwny skutek... Chyba nie umiem szukać ). To tak trochę mnie mmm drażni wewnętrznie, bo głupio mi będzie jak jakiś miły człowiek mi wstawi link do podobnego zadania zrobionego na forum 6 miesięcy temu Dobra do rzeczy powracając do przykład d faktycznie nie wziąłem pod uwagę tego że logarytm za ktory podstawiałem był pod pierwiastkiem robiąc korekte i podnosząc do kwadratu prawą strone równania, wszystko wychodzi idelanie, niczym w zegarku Tak, że dzięki super Już dostrzegam błąd. A ten przykład nowy gratki za zrobienie, w sumie nie byłem przekonay czy wolno mi tak dzielić przez log jak ma tą samą podstawe (ale w sumie dla czego by nie...). Wyciągliście mnie z niepewności wszystko wyszło czyt. x=2 co jest odp poprawną, zrobiłem potem przykłąd bardzo podobny, którego tu nie wstawiałęm też mi wszystko, fajnie wyszło. Więc ten tego, bardzo wam dziękuję za pomoc eta i yht dzięki wam zrozumiałem moje niuanse krok bliżej do spranwego rozwiązywania logarytmów, bardzo, bardzo wam dziękuję za was czas! Pozdrawiam gorąco Michael

Eta: