wyznacz x zxc: x⁴−5x³+6x²−5x+1>0

zxc: halo halo

mat: x⁴−5x³+6x²−5x+1=(x²−4x+1)(x²−x+1)

Adamm: pozostaje pytanie, jak do tego dojść wielomian nie ma żadnych pierwiastków wymiernych, pozostaje przypuszczenie że rozkłada się na iloczyn dwóch wielomianów o współczynnikach całkowitych (jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych, to również w całkowitych, więc nie ma sensu rozpatrywać rozkładu na wielomiany o współczynnikach wymiernych) x⁴−5x³+6x²−5x+1=(x²+ax+b)(x²+a'x+b') −5=a'+a 6=b'+a*a'+b −5=ab'+ba' 1=bb' stąd (b=1 oraz b'=1) lub (b=−1 oraz b'=−1) jeśli b=−1 oraz b'=−1 to −5=a'+a oraz 5=a'+a, sprzeczność więc b=1 oraz b'=1 −5=a'+a 4=a*a' a<0 oraz a'<0 może być (a=−1 oraz a'=−4) lub (a=−2 oraz a'=−2) tylko pierwszy przypadek może zajść (dla a=−2 oraz a'=−2 mamy a+a'=−4≠−5) i stąd dochodzimy do wniosku że wielomian rozkłada się do postaci (x²−4x+1)(x²−x+1)

zxc: dziękuję pięknie <3

karty do gry : x⁴ − 5x³ + 6x² − 5x + 1 = x²(x² + 1/x² − 5(x + 1/x) + 6) = = x²( (x + 1/x)² − 5(x + 1/x) + 4) = x²(t² − 5t + 4), gdzie t = x + 1/x | = = x²(t − 1)(t − 4) = x²(x + 1/x − 1)(x + 1/x − 4) = (x² − x + 1)(x² − 4x + 1)

Mariusz: Adam dobrze że użyłeś czterech współczynników wtedy twoja propozycja jest dość ogólna chociaż czasem sprowadzenie najpierw do różnicy kwadratów może wymagać mniej obliczeń Jeśli chodzi o twoją popozycję rozkładu to można poczynić dwa założenia które uproszczą nieco obliczenia Założenie 1: a₃=0 Założenie to nie zmniejsza ogólności bo zawsze można zastosować podstawienie sprowadzające do ogólnej postaci Upraszcza ono znacznie równanie rozwiązujące szóstego stopnia Założenie 2: a₁≠0 Założenie to zmniejsza ogólność twojej propozycji ale za to pozwala usunąć możliwość dzielenia przez zero Jeśli po usunięciu wyrazu z x³ wielomian nie będzie spełniał tego założenia to podstawieniem można równanie sprowadzić do kwadratowego