okręgi 3h: Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne odpowiednio w punktach A,B,C. Niech r bedzie promieniem okregu wpisanego w trójkąt ABC. Pokaż że √3r≤2.

kochanus_niepospolitus: zauważ, że trójkąt o bokach 6,8,10 to trójkąt PROSTOKĄTNY (wariacja: 3,4,5). Jaki będzie promień okręgu wpisanego w tenże trójkąt

kochanus_niepospolitus: wskazówka: wykorzystaj wzór:

	2PΔABC
r =
	a+b+c

3h: A po co mi promień okregu wpisanego w trójkąt 6,8,10

kochanus_niepospolitus: Ach ... źle spojrzałem ... ma być wpisany w ABC ... a nie opisany (okrąg wpisany w pokazany trójkąt będzie OPISANY na trójkącie ABC)

3h: Czy jak to rozwiązać bo już się trochę pogubiłem....

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Eulera_(geometria) R≥2r <− nierówność Eulera R=2 1≥r

kochanus_niepospolitus: np. tak: wyliczasz długości boków b,c,a stosując funkcje trygonometryczne dla α i β (wartości cosinusa dla tych kątów znasz − więc jedziesz z tw. cosinusów) Masz trzy boki trójkąta, to stosujesz wzór Herona by policzyć pole trójkąta) Stosujesz wzór wskazany wcześniej

3h: A jak sprawdzić czy ta teza zachodzi w ogólnym przypadku: Trzy okręgi o promieniach R₁, R₂ i R₃ są parami zewnętrznie styczne odpowiednio w punktach A,B,C. Niech r bedzie promieniem okregu wpisanego w trójkąt ABC. Pokaż że 6√3r≤R₁+R₂+R₃.

Blee: Napisze jak dojade do komputera (to pisalem ja: kochanus)

kochanus_niepospolitus: Zacznijmy od końca:

	2PΔ		PΔ
6√3r ≤ 3√3R = 3√3		= 3√3*
	2(R1+R2+R3)		R1+R2+R3

więc należy udowodnić, że: 3√3*P_Δ ≤ (R₁+R₂+R₃)² I wykazanie tego nie jest trudne, ale straaaaszliwie ślamazarne (przynajmniej jak robiłem to z wykorzystaniem wzoru Herona). Niestety, żadne szacowania nie wchodzą w grę, bo w ogólnym przypadku, szacowania zbytnio windują liczbę szacującą pole trójkąta. dochodzę do nierówności: 2[(a+b)³ + (a+c)³ + (b+c)³] ≤ 11(a³ + b³ + c³) + 15abc I szczerze mówiąc nie chce mi się dalej z tym bawić