Potrzebne pilnie. Ziomek: Wykaż, że wielomian x⁹⁹¹+x³⁴⁴+1 dzieli się przez wielomian x²+x+1

Adamm: niech x będzie dowolną liczbą zespoloną x²+x+1=0 ⇒ (x−1)(x²+x+1)=0 ⇒ x³=1 x⁹⁹¹+x³⁴⁴+1=x²+x+1=0 x²+x+1=0 ⇒ x⁹⁹¹+x³⁴⁴+1=0 więc x²+x+1 dzieli x⁹⁹¹+x³⁴⁴+1

Problem: Adamm, czy mogłbyś trochę jaśniej?

Adamm: czego nie rozumiesz

zombi: Albo tak: szukamy zespolonych pierwiastków dla x²+x+1. Są nimi e^i2π/3 oraz e^−i2π/3. Wystarczy teraz sprawdzić wartości wielomianu w(x) = x⁹⁹¹+x³⁴⁴+1 dla obu. Zważając na wielokrotności 2π, gdyż e^i2π = 1.

Problem: Głupio się przyznać, ale pierwsza linijka mnie zabiła, dlaczego zapisałeś to w ten sposób?

zombi: (e^i2π/3)⁹⁹¹ = (e^i2π/3)⁹⁹⁰ * e^i2π/3 = 1 * e^i2π/3 analogicznie dla 344 = 342 + 2, tak żeby były te liczby postaci 3k+reszta.

Problem: Jestem w II liceum, poruszam się narazie w zbiorze liczb rzeczywistych

zombi: Aaa to zmienia sprawę

Problem: Tylko odrobinkę

zombi: Męcz Adama, żeby wytłumaczył ci swój zapis. Bo póki co jest tak koszmarny, że nie da się nic zrozumieć

Mila: x²+x+1=0 Δ=−3

	−1−i√3		−1+i√3
x1=		lub x2=
	2		2

|x₁|=1

	4π
α=
	3

	4π		4π
x1=cos		+i sin
	3		3

	4π		4π		4π		4π
W(x1)=(cos		+i sin		)991+(cos		+i sin		)344+1
	3		3		3		3

skorzystano z wzorów de Moivre,a

	4π		4π		2π		2π
W(x1)=(cos		+i sin		)+(cos		+i sin		)+1=
	3		3		3		3

	1		√3		1		√3
=−		−i*		+(−		)+i*		+1=0
	2		2		2		2

Analogicznie : W(x₂)=0⇔ W(x) jest podzielny przez x²+x+1

Mila: To moje pisanie też nie pomoże