Suma wszystkich liczb dodtanich liczb nieparzystych Peper14: Suma wszystkich dodatnich liczb nieparzystych mniejszych od pewnej liczby naturalnej n stanowi 48% sumy wszystkich liczb naturalnych mniejszych od n. Oblicz n.

Pytający: Załóżmy, że n jest parzyste:

1+3+...+(n−1)		1+(n−1)   n   * 2   2
	=		=
1+2+...+(n−1)		1+(n−1)   *(n−1) 2

	n		48
=		=		⇒
	2(n−1)		100

⇒ 100n=96(n−1) ⇒ n=−24 ∉ℕ Załóżmy, że n jest nieparzyste:

1+3+...+(n−2)		1+(n−2)   n−1   * 2   2
	=		=
1+2+...+(n−1)		1+(n−1)   *(n−1) 2

	n−1		48
=		=		⇒
	2n		100

⇒ 100(n−1)=96n ⇒ n=25

yht: 1−wszy przypadek: dla n nieparzystego (a_n) = (1, 3, 5, 7, ... , n−2) − liczby dodatnie nieparzyste mniejsze od n a₁=1 (pierwszy wyraz ciągu arytm.) a_n=n−2 (ostatni wyraz ciągu arytm.)

	n−1
liczba wyrazów =		(dlaczego akurat tyle, wyjaśniam poniżej)
	2

(b_n) = (1, 2, 3, 4, ... , n−1) − liczby dodatnie, mniejsze od n b₁ = 1 b_n = n−1 (ostatni wyraz ciągu arytm.) liczba wyrazów = n−1 Uwaga! Wszystkich liczb w ciągu (b_n) jest (n−1) sztuk

	n−1
Oznacza to, że wszystkich liczb w ciągu (an) jest		sztuk
	2

	n−1
Wyjaśnienie dlaczego właśnie		sztuk
	2

Weźmy jakieś przykładowe nieparzyste n, np. n=9 Wówczas ciąg (b_n) wygląda tak: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) Dla dowolnego nieparzystego n, takie ciągi są zakończone liczbą parzystą (tutaj 8) i mają tyle samo liczb nieparzystych co parzystych Jeśli wszystkich liczb w ciągu jest (n−1) sztuk, to nieparzystych będzie połowa z tego czyli

	n−1
	2

Będziemy korzystać ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:

	pierwszy wyraz + ostatni wyraz
Suma =		* liczba wyrazów
	2

S_a = 0,48*S_b

1+(n−2)		n−1		1+(n−1)
	*		= 0,48*		*(n−1)
2		2		2

(n−1)2		n
	= 0,48*		*(n−1) |:(n−1)
4		2

n−1		0,48n
	=		|*4
4		2

n−1 = 0,96n n = 25 ← to jest odpowiedź ============================================== 2−gi przypadek: dla n parzystego (a_n) = (1, 3, 5, ... , n−1) − liczby dodatnie nieparzyste, mniejsze od n a₁ = 1 a_n = n−1 (ostatni wyraz)

	n+1
liczba wyrazów to (		) sztuk (wyjaśnienie poniżej)
	2

(b_n) = (1, 2, 3, ... , n−1) − liczby dodatnie mniejsze od n b₁ = 1 b_n = n−1 (ostatni wyraz) liczba wyrazów to (n−1) sztuk

	n+1
wyjaśnienie skąd (		)
	2

weźmy dowolne parzyste n, np. n=8 wówczas (b_n) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) tego typu ciągi (b_n) rozpoczynają się i kończą liczbą nieparzystą, w takich przypadkach mamy o 2 więcej liczby nieparzyste niż parzyste w ciągu zatem jeśli pomocniczo przyjmiemy że jest x nieparzystych i x−2 parzystych, a wszystkich wiemy że jest (n−1), to rozwiązując równanie (wyznaczając x) x + x−2 = n−1 dowiemy się ile jest nieparzystych 2x−2 = n−1 2x = n+1

	n+1
x =
	2

S_a = 0,48*S_b

1+(n−1)		n+1		1+(n−1)		1+(n−1)
	*		= 0,48*		* (n−1) |:
2		2		2		2

n+1
	= 0,48*(n−1)
2

0,5n + 0,5 = 0,48n − 0,48 0,02n = −0,98 2n = −98 n = −49 sprzeczność ======================================================

Pytający: yht, coś Ci się pogmatwało.

	n+1
Dla n parzystego		nie jest liczbą naturalną, więc "raczej wątpliwe", iż liczba wyrazów
	2

	n+1
w jakimś ciągu jest równa właśnie		.
	2

W moim poprzednim poście dobrze policzyłem, tak sądzę. Ponadto w ciągu kolejnych liczb naturalnych rozpoczynającym i kończącym się liczbą nieparzystą, jest o 1 więcej liczb nieparzystych od parzystych.

yht: masz rację.. nie wiem skąd mi się przyplątało że o 2 więcej...

peper14: dlaczego w liczniku ułamku mnożone jest przez n/2, a w mianowniku przez (n−1)?

Pytający: Bo to są liczby wyrazów w tych ciągach. Zarówno w liczniku, jak i w mianowniku mamy sumę ciągu arytmetycznego.

	a1+ak
Mamy dane a1, ak oraz r, suma to Sk=		*k.
	2

	ak−a1
Ilość wyrazów w ciągu (tu k) można obliczyć: k=		+1.
	r

	1+(n−1)		(n−1)−1
1+3+...+(n−1) =		*(		+1)
	2		2

	1+(n−2)		(n−2)−1
1+3+...+(n−2) =		*(		+1)
	2		2

	1+(n−1)		(n−1)−1
1+2+...+(n−1) =		*(		+1)
	2		1