zadanie Maciek: a_n=2a_n−1+a_n−2, a₁=3, a₂=7 a_n=2(2a_n−2+a_n−3)+a_n−2 a_n=2(2(2a_n−3+a_n−4)+a_n−3)+a_n−2 . . . chodzi mi o to żeby wyznaczyć wzór na a_n w taki sposób

Mila: Innej metody nie możesz zastosować? ( to proste równanie). To LO, czy studia?

Maciek: tu jest rozwiązanie wolframa, ale chciałbym żeby nie było pierwiastków https://www.wolframalpha.com/input/?i=a_n%3D2a_(n-1)%2Ba_(n-2),+a_1%3D3,+a_2%3D7

Mila: Prostsza postać:

	1
an=		*[(1−√2)n+1+(1+√2)n+1]
	2

Maciek: okej dzieki, moze po skorzystaniu ze wzoru newtona pierwiastki sie skroca?

Mila: A co Ci przeszkadzają te pierwiastki?

Maciek: nie podobają mi się

Adamm: pierwiastki na pewno się skrócą w końcu a_n jest ciągiem liczb całkowitych

Mariusz: Dla n∊ℕ pierwiastki się zredukują Wygodniejszą metodą byłoby zastosowanie funkcji tworzącej A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ a_n=2a_n−1+a_n−2 a_n−2=a_n−2a_n−1 a₁=3 a₂=7 a₀=7−6=1 a₀=1, a₁=3 ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞2a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞a_n−2xⁿ

Maciek: to niech ktos to rozpisz pls

Mariusz: a₀=1,a₁=3 a_n=2a_n−1+a_n−2 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞2a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞a_n−2xⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=2x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²) ∑_n=2^∞a_nxⁿ=2x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)+x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−3x=2x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−1)+x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−3x=2x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)−2x+x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) A(x)−1−3x=2xA(x)−2x+x²A(x) A(x)(1−2x−x²)=1+x

	1+x
A(x)=
	1−2x−x2

	1+x
A(x)=
	(1−2x+x2)−2x2

	1+x
A(x)=
	(1−(1−√2)x)(1−(1+√2x))

1+x		A		B
	=		+
(1−(1−√2)x)(1−(1+√2x))		1−(1−√2)x		1−(1+√2)x

A(1−(1+√2)x)+B(1−(1−√2)x)=1+x A+B=1 −(1+√2)A−(1−√2)B=1 A+B=1 −A−B−√2A+√2B=1 A+B=1 −1−√2(A−B)=1 A+B=1 −√2(A−B)=2 A+B=1 A−B=−√2 2A=1−√2 2B=1+√2

	1−√2	1		1+√2	1
A(x)=			+
	2	1−(1−√2)x		2	1−(1+√2)x

	1−√2		1+√2
A(x)=		(∑n=0∞(1−√2)nxn)+		(∑n=0∞(1+√2)nxn)
	2		2

	1−√2		1+√2
an=		(1−√2)n+		(1+√2)n
	2		2

Gdyby mianownik funkcji tworzącej miał pierwiastki wielokrotne to mógłbyś skorzystać z różniczkowania szeregu geometrycznego albo z dwumianu Newtona

Maciek: no dobra, to jak to rozpisac z dwumianu newtona?

Pytający:

	n k
(x+y)n=∑k=0n(		xn−kyk)

	n k		n k
(x+y)n+(x+(−y))n=∑k=0n(		xn−kyk)+∑k=0n(		xn−k(−y)k)=

	n 2k		n
=2∑k=0[n/2](		xn−2ky2k), gdzie [n/2] to podłoga/cecha z
			2

	(1−√2)n+1+(1+√2)n+1
an=		=
	2

	1		n+1 2k
=		*2∑k=0[(n+1)/2](		(1)n+1−2k(√2)2k)=
	2

	n+1 2k
=∑k=0[(n+1)/2](		2k)

	2 0		2 2
a1=		*20+		*21=3

	3 0		3 2
a2=		*20+		*21=7

	4 0		4 2		4 4
a3=		*20+		*21+		*22=17

	5 0		5 2		5 4
a4=		*20+		*21+		*22=41

...

Adamm:

n+1 2k
	? na pewno?

Adamm: nieważne, nieprzytomny jestem

Pytający:

Mariusz:

	A
Jeżeli z rozkładu funkcji tworzącej wychodzi		k∊ℕ
	(1−λmx)k

to aby rozwinąć funkcję tworzącą w szereg możesz skorzystać z różniczkowania szeregu geometrycznego bądź z dwumianu Newtona

Maciek: a taki ciąg:

⎧	a1=3
⎨	a2k=2a2k−1
⎩	a2k+1=2a2k+3

Pytający: a₁=2²−1 a_2k+1=2a_2k+3=2(2a_2k−1)+3=4a_2k−1+3=2²(a_2k−1+1)−1 Stąd (jeśli nie jest to oczywiste, można pokazać indukcyjnie): a_2k+1=2^(2k+1)+1−1 dla k∊ℕ∪{0} a_2k=2a_2k−1=2(2^(2k−1)+1−1)=2^(2k)+1−2 dla k∊ℕ⁺ Uogólniwszy:

	3+(−1)n
an=2n+1−		dla n∊ℕ+
	2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B2%5E(n%2B1)-(3%2B(-1)%5En)%2F2,%7Bn,10%7D%5D

Maciek: a co do pierwszego ciągu, można to zrobić równaniem charakterystycznym?

Adamm: tak

Maciek: okej dzieki

Maciek: a jest jakas bardziej licealna metoda?

Adamm: nie