zadanie gość: Jak rozwiązać taki przykład z użyciem ciągu?

	2x+1+1
2x+4x+8x+...≤
	2

Milo:

	2x+1 + 1
2x + (2x)2 + (2x)3 + ... ≤
	2

założenia: |2^x|<1, by szereg był zbieżny x < 0 Teraz liczymy:

2x		2x+1 + 1
	≤
1 − 2x		2

(lewa strona ze wzoru na szereg ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 2^x i ilorazie q = 2^x)

Milo: Z założeń wynika 1 − 2^x >0, więc możemy pomnożyć "na krzyż" 2^x+1 ≤ (2^x+1 + 1)(1 − 2^x) 2^x+1 ≤ 2^x+1 − 2^2x+1 + 1 − 2^x 2^2x+1 + 2^x − 1 ≤ 0 2 * (2^x)² + 2^x − 1 ≤ 0 Niech t = 2^x; t>0 2t² + t − 1 ≤ 0

	1		1
t2 +		t −		≤ 0
	2		2

	1
(t + 1)(t −		) ≤ 0
	2

	1
t∊<−1,		>
	2

Ale z założeń t>0, więc pozostaje

	1
t ≤
	2

2^x ≤ 2⁻¹ x ≤ −1 ostatecznie x∊(−∞,−1>

gość: Dziękuję