granice ciągów MK: Oblicz granicę ciągów : 1). a_n=ⁿ√5ⁿ+3*7ⁿ 2). a_n=(²ⁿ⁺¹¹_2n+5)⁻²ⁿ Oblicz granice funkcji stosując regułę de l'Hospitala : (ponieważ nie bardzo można odczytać te ułamki, więc napiszę) 1). lim x→0 (licznik) xe^3x+3x (mianownik) x+ln(x+1) 2). lim x→∞ (licznik) √x²+1+3x² (mianownik) −12x²+3

aaaa: 2) −1/4

ten sam co wczoraj: nie wiem czy dobrze ale:

	xe3x+3x		e3xxe3x+3
lim x→0		= lim x→0		=
	x+ln(x+1)		1+1x+1

	1*0*1+3		3
		=
	1+10+1		2

	√x2+1+3x2		1   +6x 2√x2+1		6		1
lim x→∞		= lim→∞		=		= −
	−12x2+3		−24x		−24		4

z tego co mi sie wydaje to ta druga granica nie wymaga reguły l'Hospitala

ten sam co wczoraj:

	2n+11		2n+5
an = (		)−2n = (		)2n
	2n+5		2n+11

	2+0
lim an = (		)∞ = 1∞ = 1
	2+0

Bogdan: (xe^3x + 3x)' = e^3x + 3xe^3x + 3

Bogdan: Pomijam zapis n→∞

	2n + 11		6
lim (		)−2n = lim (1 +		)−2n =
	2n + 5		2n + 5

	1
= lim [ (1 +		)(2n + 5) / 6 ]−12n / (2n + 5) =
	2n + 5   6

= lim e^{−12n / (2n + 5)} = e⁻⁶

	−12n
bo lim		= −6
	2n + 5

Bogdan: 1. lim ⁿ√5ⁿ + 3*7ⁿ Korzystamy z twierdzenia o trzech ciągach i z twierdzenia: lim ⁿ√a = 1 dla n→∞ ⁿ√ 3*7ⁿ < ⁿ√ 5ⁿ + 3*7ⁿ < ⁿ√ 7ⁿ + 3*7^{n n}√ 3*7ⁿ < ⁿ√ 5ⁿ + 3*7ⁿ < ⁿ√ 4*7ⁿ limⁿ√ 3*7ⁿ = lim (ⁿ√ 7ⁿ * ⁿ√ 3 ) = 7 * 1 = 7 limⁿ√ 4*7ⁿ = lim (ⁿ√ 7ⁿ * ⁿ√ 4 ) = 7 * 1 = 7 a więc limⁿ√5ⁿ + 3*7ⁿ = 7

MK: dziękuję, spróbuję to jakoś teraz przetrawić

kaska: lim (2n−5/2n+1)ⁿ−1