Pierwiastek arytmetyczny vs algebraiczny - funkcja vs równanie Narker: Witam, chciałbym spytać się o pewne zagadnienie. Ostatnio na lekcji zaczęliśmy funkcje algebraiczne, omawialiśmy podstawowe wykresy. Między innymi funkcję f(x) = √x Więc po kolei. Rysujemy tabelkę i przenosimy wartości na wykres. Jednak to co mnie zastanawia to kwestia właśnie pierwiastka. bo w tym wykresie pokazane są tylko wartości dodatnie, podczas gdy podczas rozwiązywania równań gdy pierwiastkowaliśmy to otrzymywaliśmy dwa rozwiązania, np. po redukcji otrzymaliśmy: x² = 4 x = 2 v x = −2 W przypadku funkcji wiadome, że argument może mieć tylko jedno rozwiązanie, po prostu zastanawia mnie dlaczego przyjmowane jest akurat to dodatnie. Patrząc w definicje wychodzi na to, że wykorzystujemy tutaj pierwiastek arytmetyczny. Dlaczego więc w równaniach wykorzystywaliśmy pierwiastki algebraiczne? Pozdrawiam i dziękuję z góry za wszelką pomoc.

Jerzy: Dziedziną funkcji f(x) = √x jest zbiór liczb nieujemnych.

Narker: Aha, czyli jeśli dobrze rozumiem: √4 rzeczywiście równa się 2 v −2 (jeden to pierwiastek arytmetyczny, ten dodatni, a oba nazywane są algebraicznym) Ale ponieważ dziedzina funkcji to zbiór liczb nieujemnych to rozwiązanie może być tylko dodatnie? Pozostaje jeszcze jedna sprawa, jak został określony ten zbiór?

Jerzy: W zbiorze liczb zespolonych istnieje pierwistek z liczb ujemnych.

Adamm: Jerzy....

Adamm: po cholerę mu trujesz dupę liczbami zespolonymi

Narker: Niestety liczb zespolonych jeszcze nie przerabiałem. Chciałbym ograniczyć się do poziomu poznawania funkcji w tym pytaniu. Ponawiam pytanie wyżej, jak został określony zbiór funkcji? i czy moje rozumowanie na początku tego postu jest prawidłowe? (przynajmniej na tym poziomie edukacji)

Jerzy: Każda funkcja ma swoją dziedzinę. Dla funkcji f(x) = √x już ci ją podałem.

Adamm: tak, jeden to arytmetyczny a drugi algebraiczny dziedzina funkcji to zbiór liczb nieujemnych z zupełnie innego powodu rozwiązań równania x²=−a dla a>0 nie ma więc nie ma pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych

Jerzy: @ Adamm...żeby zrozumiał różnicę pomiędzy pierwistkiem algebraicznym, a arytmetycznym.

Adamm: a jeśli chodzi o zbiór wartości, to dlatego są to liczby dodatnie, ponieważ pisząc √x mamy zawsze na myśli pierwiastek arytmetyczny

Adamm: pierwiastek arytmetyczny z liczby dodatniej a, to dodatnie rozwiązanie równania x²=a pierwiastki algebraiczne, to oba rozwiązania

Narker: Dobrze, dziękuję za pomoc w rozwianiu moich wątpliwości. Jeszcze jedno pytanie. Tak na przyszłość. Skoro pod znakiem √x rozumie się zawsze pierwiastek arytmetyczny, dlaczego w poniższym równaniu otrzymujemy też pierwiastek algebraiczny? x² = 4 / *znak pierwiastka* x = 2 v x = −2 Nie wiem czy odpowiednio to zapisałem. Chodzi mi o to, że z pawej strony po kresce "/" zapisujemy co robimy z obiema stronami równania.

Jerzy: Teraz Adamm to Ty mu trujesz dupę ..... Kolego Naker. W zbiorze liczb rzeczywistych jedynym pierwiastkiem z liczby −8 jest −2 √−8 = −2 ( pierwiastek arytmetyczny ) ale w zbiorze liczb zespolonycych istnieja trzy pierwiastki algebraiczne z −8 √−8 = 1 + √3i , 2 , 1 − √3i

Jerzy: @ Narker.Nie myl pierwiatka jako liczby i pierwiastka jako rozwiazanie równania.

Jerzy: x² = 4 ⇔ x² − 4 = 0 ⇔ ( x + 2)*(x −2) = 0 ⇔ x = 2 lub x = −2 Równanie ma dwa pierwiastki ( dwa rozwiązania )

Jerzy: 12:41 ... oczywiście była mowa o pierwiastku trzeciego stopnia ³√−8 = −2

Narker: @Jerzy, więc o to chodzi? Pierwiastek można interpretować na dwa sposoby tak? Jeśli więc mamy √4 to jest o równe 2 ze względu na definicję pierwiastka arytmetycznego a w równaniach używamy nie pierwiastka, a stosujemy wzór na różnicę kwadratów? No tak, to by wiele wyjaśniało. Oczywiście prosiłbym o opinię patrząc okiem 2−licealisty, tego postu z liczbami zespolonymi po prostu nie zrozumiałem, widocznie przyjdzie na to czas.

zombi: Ta dwuznaczność w języku polskim potrafi doprowadzić do mylnych wniosków. Niestety, ale u nas słowa pierwiastek używa się również do nazywania rozwiązania równania. W języku angielskim chociażby nie ma tego kłopotu bo rozwiązanie to solution, a pierwiastek to root (square, cube itd.)

Jerzy: @Narker. Skoro jesteś tylko w zbiorze R, to Pierwiastek parzystego stopnia istnieje tylko dla liczb nieujemnych. Pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje również z liczb ujmnych.

Narker: Wszystko już zrozumiałe. Wielkie dzięki dla wszystkich, którzy mi pomogli!

Adamm: zombi, mylisz się, anglicy też używają słowa root w odniesieniu do pierwiastków równania

Jerzy: Używją też tego słowa jako "przyczyna" np: "the root of failure" − przyczna ( korzeń) powstania usterki

Adamm: Jerzy, ok nie rozumiem zupełnie dlaczego to napisałeś, nieważne

zombi: W takim razie przepraszam, jeśli w błąd wprowadziłem. Po prostu nie spotkałem w (moich przynajmniej) książkach anglojęzycznych

Jerzy: Adamm ... faktycznie nie zwrócilem uwagi na fakt,że z treści postu wynika,że gość pewnie nie ma pojęcia o liczbach zespolonych.

Jerzy: @zombi ... ja też się nie spotkałem