minimum
tylko: Równanie x
3−ax
2+bx−a=0 ma trzy dodatnie pierwiastki.
| | 2a3−3ab+3a | |
Wyznacz minimalną wartość wyrazenia |
| . |
| | b+1 | |
16 wrz 11:15
zombi: Próbowałbym coś ze wzorami Viete'a i przekształcać jakoś.
x
3−ax
2+bx−a = (x−x
1)(x−x
2)(x−x
3)
(x1,x2,x3>0)
Stąd
| ⎧ | x1+x2+x3 = a | |
| ⎨ | x1x2+x2x3+x1x3 = b |
|
| ⎩ | x1x2x3 = a | |
I teraz próbować odczytywać jakieś związki. Dla przykładu
a
2 = (x
12+x
22+x
32) + 2(x
1x
2+x
2x
3+x
1x
3) = (x
12+x
22+x
32) + 2b
16 wrz 12:44
kochanus_niepospolitus:
ze wzorów Viete'a wynika, że:
x
1 + x
2 + x
3 = x
1x
2x
3
skąd mamy:
skąd widzimy, że:
x
1*x
2 > 1 ; x
2*x
3 > 1 ; x
1*x
3 > 1 (aby x
1,x
2,x
3 > 0)
z układu tych trzech nierówności wynika, że x
1>1 ; x
2>1 ; x
3>1
stąd mamy, że a>3 i b>3
jednak czy coś nam to daje ... raczej nie
16 wrz 12:59
kochanus_niepospolitus:
chociaż można coś jeszcze zrobić:
a
3 = (x
13 + x
23 + x
33) + 3(x
1+x
2+x
3)(x
1x
2+x
1x
3+x
2x
3) = (x
13 + x
23 + x
33)
+ 3ab
a więc: 2a
3 − 3ab + 3a = 2(x
13 + x
23 + x
33) + 3a(b+1)
| 2(x13 + x23 + x33) + 3a(b+1) | | 2(x13 + x23 + x33) | |
| = |
| + 3a |
| b+1 | | b+1 | |
16 wrz 13:06
tylko: Dzieki a jak z tym dalej sobie poradzic?
16 wrz 13:53