kąt olkusz: Dany jest prostokąt ABCD. EC=AB oraz BP= √72 ,EP= 3√2. Oblicz kąt PEC

Małyśmieszek: Ktoś ma jakiś pomysł? Sam się zastanawiam co tu można użyć.

Jurek: chyba "oblicz miarę kąta PEC", a nie "oblicz kąt"

olkusz: no tak oblicz "miarę kąta". Nikt nie potrafi?

kasia: skąd masz takie zadanie?, Czy taki jest rysunek w książce?

olkusz: Tak taki był rysunek

kochanus_niepospolitus: √72 = √9*4*2 = 6√2 z tw. Talesa

a		a+b		a		a+b
	=		⇔		=		⇔ b = 2a
3√2		3√2 + 6√2		3√2		9√2

analogicznie: 3x = y z tw. Pitagorasa: a² + x² = (3√2)² −> a = √18 − x² ; gdzie x∊(0, 3√2)

kochanus_niepospolitus: Jak dla mnie to brakuje nam jakiejś jednej danej. Z tymi danymi zadanie jest nie do rozwiązania. Zarówno niebieski jak i beżowy prostokąt + EC spełniają warunki zadania. Mała niedokładność (AB i CD powinny być nieznacznie dłużej, tak aby punkt C był punktem wspólnym prostokąta i łuku) wynika z ograniczeń wynikających z rysowania w edytorze.

kochanus_niepospolitus: Skoro wykazałem, że takich sytuacji będzie nieskończenie wiele ( o ile x∊(0, 3√2) ) to spojrzymy na dwa wybrane przypadki i sprawdzimy, czy kąt aby na pewno się będzie różnił: 1) niech x = √2 w takim razie a = √16 = 4

	x		√2
tg γ =		=		−> γ ≈ 19.47o
	a		4

	a		4		2√2
tg β =		=		=		−> β ≈ 43.31o
	y		3√2		3

α = 90 − β − γ ≈ 27.22^o 2) niech x = 3 w takim razie a = √9 = 3

	x		3
tg γ =		=		= 1 −> γ ≈ 45o
	a		3

	a		3		1
tg β =		=		=		−> β ≈ 18.43o
	y		9		3

α = 90 − β − γ ≈ 26.57^o Różnica kąta α jest większa od błędu przybliżeń. Czyli wartość kąta α zależna jest od 'x' a co za tym idzie, od jednego z wymiarów prostokąta.

olkusz:

	BP−EP
kolega mi podał że tyle tgx=(		)1/2 ale nie wiem skąd on to wziął
	BP+EP

kochanus_niepospolitus: no to rozpiszmy to i zobaczymy do czego dojdziemy:

sin2x		BP−EP
	=
cos2x		BP+EP

EP(sin²x+cos²x) = BP(cos²x −sin²x)

EP
	= cos(2x)
BP

1
	= cos(2x) −> 2x = 60o −> x = 30o
2

a teraz patrzymy na rysunek (konstrukcja spełnia założenia zadania): α = 45^o z tw. Talesa:

x		3√2
	=		−> y = 3x
y		9√2

a więc: a = y−x = 2x

	y−x
sin45o =		−> x = 3
	6√2

z tw. Talesa:

a		3√2
	=		−> b = 2a
a+b		9√2

jako, że α = 45^o to b = 2x = 6 ... stąd a = 3

	a		3		1
tg β =		=		=		−> β ≈ 18.43o
	y		9		3

γ = 90 − α − β = 45 − β < 30^o Więc nie ... to nie jest dobra odpowiedź. Zapewne coś jeszcze było podane, co powodowało, że był to KONKRETNY prostokąt.

olkusz: A czy można tak Niech a=PE=3√2 więc BP=2a. Niech y=AB oraz M środek BP. Trójkąty BMC, PMC są równoramienne z kątem x= MBC=BCM ,wiec y=2acosx Z twierdzenia kosinusów dla BCE mamy 2y²(1+cos 2x)=9a².

kochanus_niepospolitus: a niby dlaczego: ∡x = ∡MBC dlaczego przyjmujesz, że EC = CB Czyli, że mamy tutaj kwadrat, skoro sam wyraźnie zaznaczyłeś, że mamy prostokąt.

kochanus_niepospolitus: gdyby to był prostokąt, ale EC = CB (a nie EC = AB) to faktycznie ∡x = 30^o

kochanus_niepospolitus: I można by było łatwo to policzyć (na pewno nie byłby potrzebny taki potworny tanges do wyliczenia